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10110101可以看作是2^7+2^5+2^4+2^2+2^0
采用CRC校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式g（x）
,并位和最后一位的系数必须为1
CRC的处理方法是：
发送方以g（x）去除t（x），得到余数作为CRC校验码。
校验时，以计算的校正结果是否为0为据，判断数据帧是否出错。
CRC校验可以100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于等于k
（k为g（x）的阶数）的突发错误。
所以CRC的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。
CCITT建议：2048kbit/s的PCM基群设备采用CRC-4方案，
使用的CRC校验采用16位CRC校验。
在IBM的同步数据链路控制规程SDLC的帧校验序列FCS中，使用CRC-16。
g（x）的位数越高，检错能力就越强。
由于CRC-32的可靠性，把CRC-32用于重要数据传输十分合适，所以在通信、
计算机等领域运用十分广泛。
在一些UART通信控制芯片（如MC6582、Intel8273和Z80-SIO）内，
都采用了CRC校验码进行差错控制；
以太网卡芯片、MPEG解码芯片中，也采用CRC-32进行差错控制。
CRC校验码的基本思想是利用线性编码理论，
在发送端根据要传送的k位二进制码序列，
以一定的规则产生一个校验用的监督码（既CRC码）r位，
并附在信息后边，构成一个新的二进制码序列数共(k+r)位，最后发送出去。
在接收端，则根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，
以确定传送中是否出错。在数据存储和数据通讯领域，
CRC无处不在:著名的通讯协议X.25的FCS(帧检错序列)采用的是CRC.
CCITT，ARJ、LHA等压缩工具软件采用的是CRC32，
磁盘驱动器的读写采用了CRC16，
通用的图像存储格式GIF、TIFF等也都用CRC作为检错手段。
CRC的本质是模-2除法的余数，采用的除数不同，CRC的类型也就不一样。
通常，CRC的除数用生成多项式来表示。
最常用的CRC码的生成多项式有CRC16,CRC32.
以CRC16为例,16位的CRC码产生的规则是先将要发送的二进制序列数左移16位
（既乘以2^16）后，
再除以一个多项式，最后所得到的余数既是CRC码，如下式所示，
其中K(X)表示n位的二进制序列数，G(X)为多项式，Q(X)为整数，
R(X)是余数（既CRC码）。
K(X)>>16=G(x)Q(x)+R(x)
求CRC码所采用模2加减运算法则，既是不带进位和借位的按位加减，
这种加减运算实际上就是逻辑上的异或运算，
加法和减法等价，乘法和除法运算与普通代数式的乘除法运算是一样，
符合同样的规律。
生成CRC码的多项式如下，其中CRC-16和CRC-CCITT产生16位的CRC码，
而CRC-32则产生的是32位的CRC码
接收方将接收到的二进制序列数（包括信息码和CRC码）除以多项式，
如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误，
关于其原理这里不再多述。用软件计算CRC码时，接收方可以将接收到的信息码求CRC码
，比较结果和接收到的CRC码是否相同。
CCITT推荐的高级数据链路控制规程HDLC的帧校验序列FCS中，
使用CCITT-16即CRC16,其生成多项式为G(x)=x16+x12+x5+1,
CRC-32的生成多项式为G(x)=x32+x26+x23+x22+x16+x11+x10+x16+x8+x7+x5+x4+x2+x+1
CRC校验码的算法分析
CRC校验码的编码方法是用待发送的二进制数据t（x）除以生成多项式g（x），
将最后的余数作为CRC校验码。
其实现步骤如下：
设待发送的数据块是m位的二进制多项式t（x）
，生成多项式为r阶的g（x）。
在数据块的末尾添加r个0，数据块的长度增加到m+r位，
对应的二进制多项式为 。用生成多项式g（x）去除，
求得余数为阶数为r-1的二进制多项式y（x）。
此二进制多项式y（x）就是t（x）经过生成多项式g（x）编码的CRC校验码。
用 以模2的方式减去y（x）,得到二进制多项式,
就是包含了CRC校验码的待发送字符串。
从CRC的编码规则可以看出，
CRC编码实际上是将代发送的m位二进制
多项式t（x）转换成了可以被g（x）除尽的m+r位二进制多项式，
所以解码时可以用接受到的数据去除g（x），
如果余数位零，则表示传输过程没有错误；
**如果余数不为零，则在传输过程中肯定存在错误。**
许多CRC的硬件解码电路就是按这种方式进行检错的。
同时可以看做是由t（x）和CRC校验码的组合，
所以解码时将接收到的二进制数据去掉尾部的r位数据，得到的就是原始数据。
为了更清楚的了解CRC校验码的编码过程，
下面用一个简单的例子来说明CRC校验码的编码过程。
由于CRC-32、CRC-16、CCITT和CRC-4的编码过程基本一致，
只有位数和生成多项式不一样。
**名称** **生成多项式** **简记式*** **标准引用**
CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704
得到：阶数r为4，即10011 为了叙述简单，用一个CRC-4编码的例子来说明CRC的编码过程。
设待发送的数据t（x）为12位的二进制数据100100011100；CRC-4的生成多项式为g（x）= ，阶数r为4，即10011。
首先在t（x）的末尾添加4个0构成 ，数据块就成了1001000111000000。
然后用g（x）去除，不用管商是多少，只需要求得余数y（x）。
下表为给出了除法过程。
进行异或操作，相同为0，不同为1
从上面表中可以看出，CRC编码实际上是一个循环移位的模2运算。
对CRC-4，我们假设有一个5bits的寄存器，通过反复的移位和进行CRC的除法，
那么最终该寄存器中的值去掉最高一位就是我们所要求的余数。
所以可以将上述步骤用下面的流程描述：
//reg是一个5 bits的寄存器
把reg中的值置0.
把原始的数据后添加r个0.
While (数据未处理完)
Begin
If (reg首位是1)
reg = reg XOR 0011.
把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。
End
reg的后四位就是我们所要求的余数。
这种算法简单，容易实现，对任意长度生成多项式的G（x）都适用。
在发送的数据不长的情况下可以使用。但是如果发送的数据块很长的话，这种方法就不太适合了。
它一次只能处理一位数据，效率太低。
为了提高处理效率，可以一次处理4位、8位、16位、32位。
由于处理器的结构基本上都支持8位数据的处理，所以一次处理8位比较合适。
为了对优化后的算法有一种直观的了解，先将上面的算法换个角度理解一下。
在上面例子中，可以将编码过程看作如下过程：
由于最后只需要余数，所以我们只看后四位。
构造一个四位的寄存器reg，初值为0，数据依次移入reg0（reg的0位），同时reg3的数据移出reg。
有上面的算法可以知道，只有当移出的数据为1时，reg才和g（x）进行XOR运算；
移出的数据为0时，reg不与g（x）进行XOR运算，相当与和0000进行XOR运算。
就是说，reg和什么样的数据进行XOR移出的数据决定。
由于只有一个bit，所以有 种选择。上述算法可以描述如下，
//reg是一个4 bits的寄存器
初始化t[]={0011,0000}
把reg中的值置0.
把原始的数据后添加r个0.
While (数据未处理完)
Begin
把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。
reg = reg XOR t[移出的位]
End
上面算法是以bit为单位进行处理的，可以将上述算法扩展到8位，即以Byte为单位进行处理，即CRC-32。
构造一个四个Byte的寄存器reg，初值为0x00000000，数据依次移入reg0（reg的0字节，以下类似），同时reg3的数据移出reg。
用上面的算法类推可知，移出的数据字节决定reg和什么样的数据进行XOR。
由于有8个bit，所以有 种选择。上述算法可以描述如下：
//reg是一个4 Byte的寄存器
初始化t[]＝{…}//共有 ＝256项
把reg中的值置0.
把原始的数据后添加r/8个0字节.
While (数据未处理完)
Begin
把reg中的值左移一个字节，读入一个新的字节并置于reg的第0个byte的位置。
reg = reg XOR t[移出的字节]
End
算法的依据和多项式除法性质有关。
如果一个m位的多项式t（x）除以一个r阶的生成多项式g（x）， 将每一位（0=<k<m）提出来，在后面不足r个0后，单独去除g（x），得到的余式位。 则将后得到的就是t（x）由生成多项式g（x）得到的余式。 对于CRC-32，可以将每个字节在后面补上32个0后与生成多项式进行运算，得到余式和此字节唯一对应， 这个余式就是上面算法种t[]中的值，由于一个字节有8位，所以t[]共有＝256项。 多项式运算性质可以参见参考文献[1]。、 这种算法每次处理一个字节，通过查表法进行运算，大大提高了处理速度，故为大多数应用所采用。