3505: [Cqoi2014]数三角形
Description
给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。
Input
输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。
Output
输出一个正整数，为所求三角形数量。
Sample Input
2 2
Sample Output
76
HINT
数据范围
1<=m,n<=1000
这肯定是很典型的排列组合水题。先n++，m++，再C（n*m，3），最后减去三点共线的特例。
横的，竖的，很好算，C（n，3）*m+C（m，3）。但是斜的，需要想一想。
在(a,b) (x,y)两点构成的线段上有gcd(a-x,b-y)-1个整点(a>x,b>y)，这显然成立。斜的即有两点，△x与△y均大于0，在他们之间有gcd(△x,△y)-1个整点，而这种情况有2*（n-△x）*（m-△y）种。以O（n^2）的效率减去就是了。
/**************************************************************
Problem: 3505
User: Doggu
Language: C++
Result: Accepted
Time:660 ms
Memory:820 kb
****************************************************************/ #include <cstdio>
#include <algorithm>
long long n, m, x, ans;
inline long long gcd(long long a,long long b) {return b==?a:gcd(b,a%b);}
inline long long C(long long p) {return p*(p-)*(p-)/;}
int main() {
scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);
ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;
for( int i = ; i < n; i++ ) for( int j = ; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-)**(n-i)*(m-j);
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
math（820kb 660ms）
但是，居然发现，若把gcd记忆化，效率将大大提高。
/**************************************************************
Problem: 3505
User: Doggu
Language: C++
Result: Accepted
Time:292 ms
Memory:8792 kb
****************************************************************/ #include <cstdio>
#include <algorithm>
long long n, m, x, ans, g[][];
inline long long gcd(long long a,long long b) {if(g[a][b]) return g[a][b];return g[a][b]=b==?a:gcd(b,a%b);}
inline long long C(long long p) {return p*(p-)*(p-)/;}
int main() {
scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);
ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;
for( int i = ; i < n; i++ ) for( int j = ; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-)**(n-i)*(m-j);
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
math++（8792kb 292ms）