BZOJ 3505: [Cqoi2014]数三角形 数学

时间：2022-04-25 09:44:47

3505: [Cqoi2014]数三角形

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题目连接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3505

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

HINT

1<=m,n<=1000

题意

题解：

任意选择三个不在同一条直线上的三个点即是满足题意的点

考虑补集，随意选择3个点，然后删除同一直线，同一斜线的就好了

直线上的比较简单，只用想斜线的就好了

枚举矩形，矩形的长宽分别为i,j，那么这个矩形的对角线就会经过gcd(i,j)-1个点

然后这个图里面可以放(n-i+1)*(m-j+1)个矩形

然后搞一搞就好了

代码：

//qscqesze

#include <cstdio>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <ctime>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <set>

#include <bitset>

#include <vector>

#include <sstream>

#include <queue>

#include <typeinfo>

#include <fstream>

#include <map>

#include <stack>

typedef long long ll;

using namespace std;

//freopen("D.in","r",stdin);

//freopen("D.out","w",stdout);

#define sspeed ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)

#define maxn 510000

#define mod 10007

#define eps 1e-9

int Num;

//const int inf=0x7fffffff;   //§ß§é§à§é¨f§³

const int inf=0x3f3f3f3f;

inline ll read()

{

    ll x=,f=;char ch=getchar();

    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

    while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}

    return x*f;

}

//**************************************************************************************

ll gcd(ll a,ll b)

{

    return b==?a:gcd(b,a%b);

}

int main()

{

    ll n=read(),m=read();

    n++,m++;

    ll ans = (n*m)*(n*m-)*(n*m-2LL)/6LL;

    ans -= n*(m*(m-1LL)*(m-2LL)/6LL);

    ans -= m*(n*(n-1LL)*(n-2LL)/6LL);

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

        for(int j=;j<=m;j++)

        {

            ll tmp = gcd(i,j)+1LL;

            if(tmp>2LL)

                ans-=(tmp-2LL)*2LL*(n-i*1LL)*(m-j*1LL);

        }

    }

    printf("%lld\n",ans);

}

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