拉格朗日对偶(Lagrange duality)
存在等式约束的极值问题求法,比如下面的最优化问题:
目标函数是f(w),下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子,这里使用来表示算子,得到拉格朗日公式为
L是等式约束的个数。
,然后解出w和。至于为什么引入拉格朗日算子可以求出极值,原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束,dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值,而且在极值处,f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行,因此他们之间存在线性关系。(参考《最优化与KKT条件》)
然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法,问题如下:
我们定义一般化的拉格朗日公式
了,我们可以将调整成很大的正值,来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况,我们定义下面的函数:
这里的P代表primal。假设或者,那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时,为f(w)。这个函数的精妙之处在于,而且求极大值。
因此我们可以写作
这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。
我们使用来表示。如果直接求解,首先面对的是两个参数,而也是不等式约束,然后再在w上求最小值。这个过程不容易做,那么怎么办呢?
我们先考虑另外一个问题
D的意思是对偶,将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值,将和看作是固定值。之后在求最大值的话:
这个问题是原问题的对偶问题,相对于原问题只是更换了min和max的顺序,而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下:
下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数,h是仿射的(affine,)。并且存在w使得对于所有的i,。在这种假设下,一定存在使得是原问题的解,是对偶问题的解。还有另外,满足库恩-塔克条件(Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition),该条件如下:
),这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果,那么。也就是说,时,w处于可行域的边界上,这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部(的)点都是不起作用的约束,其。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。
或等式约束里取得,而最优下降方向一般是这些等式的线性组合,其中每个元素要么是不等式为0的约束,要么是等式约束。对于在可行域边界内的点,对最优解不起作用,因此前面的系数为0。