BZOJ 3992: [SDOI2015]序列统计 快速幂+NTT（离散对数下）

时间：2021-12-03 08:00:13

3992: [SDOI2015]序列统计

Description

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。
小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

Input

一行，四个整数，N、M、x、|S|，其中|S|为集合S中元素个数。第二行，|S|个整数，表示集合S中的所有元素。

Output

一行，一个整数，表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

Sample Input

4 3 1 2
1 2

Sample Output

8

HINT

【样例说明】
可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。
【数据规模和约定】
对于10%的数据，1<=N<=1000；
对于30%的数据，3<=M<=100；
对于60%的数据，3<=M<=800；
对于全部的数据，1<=N<=109，3<=M<=8000，M为质数，1<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复
 

Source

题解：

　　利用原根G

　　将序列的乘积替换成加法

　　想快速幂那般的计算，得到长度为n的序列

　　每次NTT加速

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")

#define ls i<<1

#define rs ls | 1

#define mid ((ll+rr)>>1)

#define pii pair<int,int>

#define MP make_pair

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ULL;

const long long INF = 1e18+1LL;

const double pi = acos(-1.0);

const int N = 6e4+, M = 2e2+,inf = 2e9;

int MOD;

inline int muls(int a, int b){

    return (long long)a * b % MOD;

}

int power(int a, int b){

    int ret = ;

    for (int t = a; b; b >>= ){

        if (b & )ret = muls(ret, t);

        t = muls(t, t);

    }

    return ret;

}

int cal_root(int mod)

{

    int factor[], num = , s = mod - ;

    MOD = mod--;

    for (int i = ; i * i <= s; i++){

        if (s % i == ){

            factor[num++] = i;

            while (s % i == )s /= i;

        }

    }

    if (s != )factor[num++] = s;

    for (int i = ;; i++){

        int j = ;

        for (; j < num && power(i, mod / factor[j]) != ; j++);

        if (j == num)return i;

    }

}

const LL G = 3LL, P = 1004535809LL;

LL mul(LL x,LL y){

    return (x*y-(LL)(x/(long double)P*y+1e-)*P+P)%P;

}

LL qpow(LL x,LL k,LL p){

    LL ret=;

    while(k){

        if(k&) ret=mul(ret,x);

        k>>=;

        x=mul(x,x);

    }

    return ret;

}

LL wn[];

void getwn(){

    for(int i=; i<=; ++i){

        int t=<<i;

        wn[i]=qpow(G,(P-)/t,P);

    }

}int len;

void NTT_init() {

    getwn();

}

void NTT(LL y[],int op){

    for(int i=,j=len>>,k; i<len-; ++i){

        if(i<j) swap(y[i],y[j]);

        k=len>>;

        while(j>=k){

            j-=k;

            k>>=;

        }

        if(j<k) j+=k;

    }

    int id=;

    for(int h=; h<=len; h<<=) {

        ++id;

        for(int i=; i<len; i+=h){

            LL w=;

            for(int j=i; j<i+(h>>); ++j){

                LL u=y[j],t=mul(y[j+h/],w);

                y[j]=u+t;

                if(y[j]>=P) y[j]-=P;

                y[j+h/]=u-t+P;

                if(y[j+h/]>=P) y[j+h/]-=P;

                w=mul(w,wn[id]);

            }

        }

    }

    if(op==-){

        for(int i=; i<len/; ++i) swap(y[i],y[len-i]);

        LL inv=qpow(len,P-,P);

        for(int i=; i<len; ++i) y[i]=mul(y[i],inv);

    }

}

LL mo[N],fmo[N],now[N],xx[N],yy[N];

int m;

void cal(LL *x,LL *y,LL *z) {

    for(int i = ; i < len; ++i) xx[i] = x[i],yy[i] = y[i];

    NTT(xx,);NTT(yy,);

    for(int i = ; i < len; ++i) z[i] = xx[i] * yy[i] % P,now[i] = ;

    NTT(z,-);

    for(int i = ; i <= *m-; ++i)

        now[mo[i%(m-)]] += z[i],z[i] = ;

    for(int i = ; i < len; ++i) z[i] = ;

    for(int i = ; i <= m-; ++i) {

        z[fmo[i]] += now[i];

    }

}

LL y[N],ans[N],ny[N],num[N],an[N];

int n,x,s,root,cnt0;

int main() {

    NTT_init();

    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&s);

    root = cal_root(m);

    for(int i = , t = ; i < m-; ++i,t = t*root%m)

        mo[i] = t,fmo[t] = i;

    for(int i = ; i <= s; ++i) {

        int xx;

        scanf("%d",&xx);

        if(xx == )

            cnt0+=;

        else

            num[fmo[xx]]+=;

    }

    if(x == ) {

        LL L = (qpow(2LL,cnt0,P) -  + P) % P + qpow(2LL,s-cnt0,P)%P;

        printf("%lld\n",L%P);

        return ;

    }

    len = ;

    int f = ;

    while(len <= *m) len<<=;

    for(int i = ; i < len; ++i) y[i] = num[i],ans[i] = ;

    int j = ;

    int chan = ;

    while(n) {

        if(n&) {

            if(f) {

                f = ;

                for(int i = ; i < len; ++i) ans[i] = y[i];

            }

            else {

                cal(ans,y,ans);

            }

        }

        cal(y,y,y);

        n>>=;

    }

    int l = ;

    for(int i = ; i < len; ++i) {

        an[mo[i%(m-)]] += ans[i],an[mo[i%(m-)]]%=P;

    }

    cout<<an[x]<<endl;

    return ;

}

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