思路
polya定理的模板题，但是还要加一些优化
题目的答案就是
\[\frac{\sum_{i=1}^n n^{gcd(i,n)}}{n}
\]
\]
考虑上方的式子怎么求
因为\(gcd(i,n)\)肯定有很多重复，枚举\(gcd(i,n)\)，因为\(gcd(i,n)\)是\(n\)的约数，所以枚举约数
\[\begin{align}&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^n[gcd(n,k)=d]\\=&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,k)=1]\\=&\sum_{d|n}^nn^d\phi(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align}
\]
\]
然后做完了
一个求phi的方式
\(\phi(i)=i\prod_{p是k的质因数}(1-\frac{1}{p})\)
如果有\(p|n\)且\(p^2|n\)，则\(\phi(n)=\phi(n/p)\times p\)
如果有\(p|n\)且\(p^2\not|n\)，则\(\phi(n)=\phi(n/p)\times (p-1)\)
代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
int n,p,t,ans=0;
int pow(int a,int b){
int ans=1;
while(b){
if(b&1)
ans=(ans*a)%p;
a=(a*a)%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
int get_phi(int x){
int ans=x;
int top=sqrt(x+0.5);
for(int i=2;i<=top;i++){
if(x%i==0){
ans=ans/i*(i-1);
while(x%i==0)
x/=i;
}
}
if(x!=1)
ans=ans/x*(x-1);
return ans;
}
signed main(){
scanf("%d",&t);
p=1000000007;
while(t--){
scanf("%lld",&n);
ans=0;
int top=sqrt(n+0.5);
for(int i=1;i<=top&&i*i!=n;i++){
if(n%i==0){
ans=(ans+pow(n,i)*get_phi(n/i)%p+pow(n,n/i)*get_phi(i)%p)%p;
}
}
if(top*top==n)
ans=(ans+pow(n,top)*get_phi(top)%p)%p;
printf("%lld\n",ans*pow(n,p-2)%p);
}
}