贪心算法-------部分背包问题

一，部分背包问题介绍

首先介绍下0-1背包问题。假设一共有N件物品，第 i 件物品的价值为 V_i ，重量为W_i，一个小偷有一个最多只能装下重量为W的背包，他希望带走的物品越有价值越好，请问：他应该选择哪些物品？

0-1背包问题的特点是：对于某件（更适合的说法是：某类）物品，要么被带走（选择了它），要么不被带走（没有选择它），不存在只带走一部分的情况。

0-1背包问题中的物品想象的一个金子，你要么把它带走，要么不带走它；而部分背包问题中的物品则是一堆金粉末，拿走一个表示带走一堆，也可以取任意部分的金粉末

 

二，部分背包问题的贪心算法

部分背包问题可以用贪心算法求解，且能够得到最优解。

贪心策略是什么呢？将物品按单位重量 所具有的价值排序。总是优先选择单位重量下价值最大的物品。

单位重量所具有的价值：V_i / W_i

举个例子：假设背包可容纳50Kg的重量，物品信息如下：

物品 i      重量(Kg)      价值           单位重量的价值

1             10          60                 6

2             20          100               5

3             30          120               4

按照我们的贪心策略，单位重量的价值排序： 物品1 > 物品2 > 物品3

因此，我们尽可能地多拿物品1，直到将物品1拿完之后，才去拿物品2.....

最终贪心选择的结果是这样的：物品1全部拿完，物品2也全部拿完，物品3拿走10Kg（只拿走了物品3的一部分！！！）

这种选择获得的价值是最大的。在（三）会给出证明。

而对于0-1背包问题，如果也按“优先选择单位重量下价值最大的物品”这个贪心策略，那么，在拿了物品1和物品2之后，就不能在拿物品3了。因为，在拿了物品1和物品2之后，背包中已经装了10+20=30Kg的物品了，已经装不下物品3了（50-30 < 30）（0-1背包：一件物品要么拿，要么不拿，否能只拿一部分）,此时得到的总价值是 160。而如果拿物品2和物品3，得到的价值为220。这说明，该贪心策略对0-1背包问题，不能求得最优解。

 

三，部分背包问题的贪心策略的正确性证明

贪心策略是：总是优先选择单位重量下价值最大的物品

正确性证明 是：使用该贪心策略，可以获得最优解。在这里，最优解就是带走的物品价值最大。

证明思路：先考察一个全局最优解，然后对该解加以修改(一般是采用“剪枝”技巧)，使其采用贪心选择，这个选择将原问题变成一个相似的、但是更小的问题。

先假设 物品集合S={W₁，W_2....Wn}已经按 单位重量价值从小到大排好序了。

并假设 一个全局最优解是：S(i)={W_i1，W_i2，.....W_in}。W_i1，W_i2，.....W_in是有序的。对于贪心选择而言，总是会优先 选择 W_n 的物品，当W_n 没有后，再选择W_n-1 .....

如果W_in = W_n 问题已经得证。因为，我们的最优解S(i)中，已经包含了贪心选择。只要继续归纳下去，W_i(n-1) 就是 W_n-1 ....

如果W_in != W_n 运用剪枝技巧，剪掉Win 并 贴上 W_n  此时，得到的是一个更优的解(因为价值更大了 ，W_n > W_in)。因为，W_n 是单位重量价值最高的那个物品啊，我们的贪心选择应该选择它，但是这里的最优解S(i)却没有选择它，于是我们用剪枝技巧，将它加入到S(i)中去，并把S(i)中的W_in除去。  

这就证明了，如果用贪心策略来进行选择，得到的是最优解。从而证明了贪心算法的正确性。

其实，也就是证明了一定存在一个最优解，这个最优解就是由贪心选择组成的。

四、部分背包问题算法实现

1. //4d2 贪心算法 背包问题  
2. #include "stdafx.h"  
3. #include <iostream>   
4. using namespace std;   
5.   
6. const int N = 3;  
7.   
8. void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]);  
9.   
10. int main()  
11. {  
12.     float M = 50;//背包所能容纳的重量  
13.     //这里给定的物品按单位价值减序排序  
14.     float w[] = {0,10,20,30};//下标从1开始  
15.     float v[] = {0,60,100,120};  
16.   
17.     float x[N+1];  
18.   
19.     cout<<"背包所能容纳的重量为："<<M<<endl;  
20.     cout<<"待装物品的重量和价值分别为："<<endl;  
21.     for(int i=1; i<=N; i++)  
22.     {  
23.         cout<<"["<<i<<"]:("<<w[i]<<","<<v[i]<<")"<<endl;  
24.     }  
25.       
26.     Knapsack(N,M,v,w,x);  
27.   
28.     cout<<"选择装下的物品比例如下："<<endl;  
29.     for(int i=1; i<=N; i++)  
30.     {  
31.         cout<<"["<<i<<"]:"<<x[i]<<endl;  
32.     }  
33.   
34.     return 0;  
35. }  
36.   
37. void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[])  
38. {  
39.     //Sort(n,v,w);//这里假定w[],v[]已按要求排好序  
40.     int i;  
41.     for (i=1;i<=n;i++)  
42.     {  
43.         x[i]=0;//初始化数组x[]  
44.     }  
45.   
46.     float c=M;  
47.     for (i=1;i<=n;i++)//物品整件被装下,x[i]=1  
48.     {  
49.         if (w[i]>c)  
50.         {  
51.             break;  
52.         }  
53.         x[i]=1;  
54.         c-=w[i];  
55.     }  
56.   
57.     //物品i只有部分被装下  
58.     if (i<=n)  
59.     {  
60.         x[i]=c/w[i];  
61.     }  
62. }  

     程序运行结果为：

     算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O(nlogn)。为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。这种贪心选择策略对0-1 背包问题就不适用了。看下图例子，其中有3中物品，背包的容量为50千克。物品1重10千克；价值60元；物品2重20千克；价值100元；物品3重30千克，价值120元。因此，物品1每千克价值6元，物品2每千克价值5元，物品3每千克价值4元。若依贪心选择策略，应首先选择物品1装入背包，然而从图b中各种情况可以看出，最优的选择方案是选择物品2和物品3装入背包。首选物品1的两种方案都不是最优的。对于背包问题，贪心选择最终可得到最优解，其选择方案如图c所示。

     对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。

五，参考资料

https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5575109.html

https://blog.csdn.net/qq_27231343/article/details/50934438

https://blog.csdn.net/qq_32400847/article/details/51336300

 从 活动选择问题 看动态规划和贪心算法的区别与联系 文章中讲到的 “活动选择问题”的贪心策略的正确性证明。二者证明思路基本一致。

http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5573419.html

 

某种 找换硬币问题的贪心算法的正确性证明

http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5575112.html