洛谷P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY（单调队列优化DP）

时间：2020-11-30 04:09:22

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：

输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1： 复制 
5 4

3

4

2

1

4
输出样例#1： 复制 
1

单调队列优化DP
具体思路就是列出DP方程
$dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j+L)^2)$
然后证明决策单调性，之后根据得到的公式转移。
推倒过程懒得写了
推荐一篇写的炒鸡详细的博客
http://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5968118.html


#include<cstdio>

#include<cstring>

#define int long long

const int MAXN=1e5+,INF=1e8+;

using namespace std;

inline char nc()

{

    static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf;

    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,,MAXN,stdin)),p1==p2?EOF:*p1++;

}

inline int read()

{

    char c=nc();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=nc();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=nc();}

    return x*f;

}

int N,L;

int a[MAXN],sum[MAXN],f[MAXN],dp[MAXN];

int Q[MAXN],l=,r=;

double slope(int j,int k)

{

    return (dp[j]-dp[k]+(f[j]+L)*(f[j]+L)-(f[k]+L)*(f[k]+L))/(2.0*(f[j]-f[k]));

}

main()

{

    #ifdef WIN32

    freopen("a.in","r",stdin);

    #else

    #endif

    N=read();L=read();L++;//C=L+1

    for(int i=;i<=N;i++) a[i]=read(),sum[i]=sum[i-]+a[i],f[i]=sum[i]+i;

    for(int i=;i<=N;i++)

    {

        while(l<r&&slope(Q[l],Q[l+])<=f[i]) l++;

        dp[i]=dp[Q[l]]+(f[i]-L-f[Q[l]])*(f[i]-L-f[Q[l]]);

        while(l<r&&slope(Q[r-],Q[r])>slope(Q[r],i)) r--;

        Q[++r]=i;

    }

    printf("%lld",dp[N]);

    return ;

}


 




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