Part 1、块状链表。
| 定位 | 插入 | 删除 | |
| 数组 | O(1) | O(n) | O(n) |
| 链表 | O(n) | O(1) | O(1) |
对于线性表的以上常见操作来说，数组和链表都无法有效地解决。但是，若我们将链表的每个节点存成一个数组，使得链表里每个节点的数据拼接起来就是原先的线性表中的内容(即块状链表)，并且数组的大小合适的话，以上的操作都能比较好地解决了。根据均值不等式，若每个块的大小定为sqrt(n)左右最优，此时块数也是sqrt(n)左右，易证。以下是块状链表的基础操作的思想、复杂度和代码。
一、声明。C++ STL中提供了list和vector两种数据结构，于是，若我们将它们嵌套起来，便是一个很方便的块状链表，免去指针之类的操作。这里的每个块仅仅存储了数据，没有存储额外的域，实际情况要予以添加。
next函数用于返回list的迭代器x的下一个迭代器。
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<list>
using namespace std;
int sz;//块大小,一般为sqrt(n)
struct BLOCK{vector<int>data;BLOCK(){}};
list<BLOCK>List;
typedef list<BLOCK>::iterator L_ITER;
typedef vector<int>::iterator V_ITER;
inline L_ITER next(L_ITER x){x++; return x;}//返回x的下一个块
*下文中的curB指当前块,nextB指下一个块,newB指新块
二、定位。需要沿着链表顺序查找，假设查询线性表中第p(下标从1开始)个数，那么需要找到块Blockt，使得t*sz>=p，且(t-1)*sz<p。所以，查询的复杂度与块数同阶，即O(sqrt(n))。
inline L_ITER Find_Pos(const int &p)//返回整个块链中,下标p所在的块,下标默认从1开始
{
int cnt=;
for(L_ITER it=List.begin();it!=List.end();it++)
{
cnt+=(*it).data.size();
if(cnt>=p) return it;
}
}
三、维护块状链表的形态。我们一般保证块的大小在[sqrt(n)/2,sqrt(n)*2]之内，块链不会退化，因此，若相邻两块的大小之和不超过sqrt(n)，则将它们合并。我们在这里采取将相邻两块的大小加起来>sqrt(n)，且每块大小不超过sqrt(n)的写法。之所以采取这种写法，是因为我们不需要考虑将过大块分裂的情况。
(1)合并：目的是在相邻两块大小之和不超过sqrt(n)时进行合并。复杂度显然是O(sqrt(n))。
void Merge(L_ITER a,L_ITER b)//将b合并给a
{
(*a).data.insert((*a).data.end(),(*b).data.begin(),(*b).data.end());
List.erase(b);
}
(2)扫一遍块链维护形态，这在很多操作之后都要进行。由于块链插入和删除的特点，使得每次要维护的块数相对较少，所以这个复杂度仍然是O(sqrt(n))。
void MaintainList()//维护块链的形态,保证每块的元素数恰当
{
L_ITER curB=List.begin();//将指针置于链表表头
while(curB!=List.end())
{
L_ITER nextB=next(curB);
while(nextB!=List.end()&&(*curB).data.size()+(*nextB).data.size()<=sz)
{
Merge(curB,nextB);
nextB=next(curB);
}
curB++;
}
}
四、分裂。主要用于插入和删除时对最左右两端的块的操作。复杂度显然是O(sqrt(n))。
void Split(L_ITER curB,int p)//在curB的p前分裂该块
{
if(p==(*curB).data.size()) return;//分裂的位置在末尾，不需要分裂
L_ITER newB=List.insert(next(curB),BLOCK());//在curB的后面插入一个新的块
(*newB).data.assign((*curB).data.begin()+p,(*curB).data.end());//将原来块的后半部分数据复制给新块
(*curB).data.erase((*curB).data.begin()+p,(*curB).data.end());//将原来块中的后半部分元素删除
}
五、插入。若是插入一段元素，这里的复杂度应该是O(length)(插入部分长度)，我们这里不予以考虑(有缩点等办法解决)。因此时间消耗主要来自分裂。
具体做法是：先定位，再将原块分裂，然后我们将待插入的数据组织成最紧凑的形式，即前面若干个大小为sqrt(n)的块、最后添上一个余块的形式，插入到原链表中。
void Insert(const int &p,const int &x,const int &v)//在p处插入x个数,待插入的权值均为v
{
L_ITER curB=Find_Pos(p);
Split(curB,p);
int cnt=;
while(cnt+sz<=x)
{
L_ITER newB=List.insert(next(curB),BLOCK());
(*newB).data.assign(sz,v);//设置新块的数据
curB=newB;
cnt+=sz;
}
if(x-cnt!=)
{
L_ITER newB=List.insert(next(curB),BLOCK());
(*newB).data.assign(sz,v);//设置新块的数据
}
MaintainList();
}
六、删除。先定位，若整块删除，则为O(1)，若块被部分删除，则先分裂再删除。因此复杂度为O(sqrt(n))。
void Erase(const int &p,int x)//删除块链中从p位置开始的x个数
{
L_ITER curB=Find_Pos(p);
Split(curB,p); curB++;
L_ITER nextB=curB;
while(nextB!=List.end()&&x>(*nextB).data.size())
{
x-=(*nextB).data.size();
nextB++;
}
Split(nextB,x);
List.erase(curB,next(nextB));//将[curB,nextB]全部删除
MaintainList();
}
*至此，我们定义完了块状链表的基本操作。
Part 2、可持久化块状链表。
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参考资料: ①苏煜 《对块状链表的一点研究》;②《青少年信息学奥林匹克竞赛实战辅导丛书·高级数据结构》;③陈立杰 《可持久化数据结构研究》。