hihoCoder#1743:K-偏差排列（矩阵快速幂+状压dp）

题意

如果一个 \(1\to N\) 的排列 \(P=[P_1, P_2, ... P_N]\) 中的任意元素 \(P_i\) 都满足 \(|P_i-i| ≤ K\) ，我们就称 \(P\) 是 \(K\)-偏差排列。

给定 \(N\) 和 \(K\) ，请你计算一共有少个不同的排列是 \(K\)-偏差排列。

例如对于 \(N=3\) ，有 \(3\) 个 \(1\)-偏差排列：\([1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3]\)。

由于答案可能非常大，你只需要输出答案模 \(1000000007\) 的余数。

对于 \(70\%\) 的数据，\(1 ≤ N ≤ 1000\)

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 ≤ N ≤ 1000000000, 1 ≤ K ≤ 3\)

题解

一道好题~

这是它的最初版本 #1732 : 1-偏差排列 ．

那个找规律就是 斐波那契数列 了, dp 的话也是一样的结果 .

对于这个题我们可以沿用那题思路, 考虑一个位置 \(i\) 能放哪些数, 根据定义能放 \([i-k, i+k]\) * \(2k+1\) 个数.

考虑状压到 \(i\) 这个点, 这些数中的哪些被放了, 每次转移的时候考虑放入一个数, 这个数之前不能出现, 这样就是合法转移了.

最后到 \(n\) 的时候, 不能放比 \(n\) 大的数, 且小于等于 \(n\) 的数都要放进去, 只会有那个位置存在正确答案, 这个状态 \(sta=2 ^ {k + 1} - 1\) (也就是意味着 \([n - k, n]\)都得选) .

当 \(n < k\) 的时候要特判掉一些诡异的特殊情况 .

然后这样直接写就有 \(70pts\) 了.

有一些不合法状态不能转移, 也就是要放的数不存在于 \([1, n]\) 之间.

这样的话, 就是矩阵快速幂套路优化了, 考虑对这个转移系数建立矩阵, 然后它的 \(n\) 次幂中的 \((sta,sta)\) 这个位置就会存在最后的答案咯...

代码

\(70pts:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
using namespace std;

typedef long long ll;

const ll Mod = 1e9 + 7;

int n, k, all;
ll ans = 0, dp[2][1500] = {0};

int main () {
	cin >> n >> k;
	if (n <= 2) return printf ("%d\n", n), 0;

	all = (1 << (2 * k + 1)) - 1;

	dp[0][0] = 1;

	int cur = 0;
	For (i, 1, n) {
		For (j, 0, all) if(dp[cur][j]) {
			int sta = (j >> 1);

			For (s, 0, 2 * k) if (!(sta & (1 << s))) {
				int tmp = i - k + s;
				if (tmp < 1 || tmp > n) continue ;

				(dp[cur ^ 1][sta | (1 << s)] += dp[cur][j]) %= Mod;
			}

			dp[cur][j] = 0;
		}
		cur ^= 1;
	}

	int Sta = (1 << (k + 1)) - 1;

	printf ("%lld\n", dp[cur][Sta]);
	return 0;
}

\(100pts:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("P1743.in", "r", stdin);
	freopen ("P1743.out", "w", stdout);
#endif
}

const int Mod = 1e9 + 7, Maxn = 130;

int n, k, all;

struct Matrix {
	int a[Maxn][Maxn]; Matrix() { Set(a, 0); }
	void Unit() { For (i, 0, all) a[i][i] = 1; }
};

inline Matrix operator * (Matrix a, Matrix b) {
	Matrix res;
	For (i, 0, all) For (k, 0, all) if (a.a[i][k])
		For (j, 0, all) (res.a[i][j] += 1ll * a.a[i][k] * b.a[k][j] % Mod) %= Mod;
	return res;
}

inline Matrix fpm(Matrix x, int power) {
	Matrix res; res.Unit();
	for (; power; power >>= 1, x = x * x)
		if (power & 1) res = res * x;
	return res;
}

Matrix Bas, Ans;

int ans = 0;

int main () {
	File();

	cin >> n >> k;

	if (n <= 2) return printf ("%d\n", n), 0;

	all = (1 << (2 * k + 1)) - 1;

	For (i, 0, all) {
		int j = (i >> 1);
		For (s, 0, 2 * k) if (!(j & (1 << s)))
			++ Bas.a[i][j | (1 << s)];
	}
	Ans = fpm(Bas, n);

	int Sta = (1 << (k + 1)) - 1;

	printf ("%d\n", Ans.a[Sta][Sta]);

	return 0;
}