本文以NMF和经典SVD为例，讲一讲矩阵分解在推荐系统中的应用。
数据
| item\user | Ben | Tom | John | Fred |
|---|---|---|---|---|
| item 1 | 5 | 5 | 0 | 5 |
| item 2 | 5 | 0 | 3 | 4 |
| item 3 | 3 | 4 | 0 | 3 |
| item 4 | 0 | 0 | 5 | 3 |
| item 5 | 5 | 4 | 4 | 5 |
| item 6 | 5 | 4 | 5 | 5 |
| user\item | item 1 | item 2 | item 3 | item 4 | item 5 | item 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ben | 5 | 5 | 3 | 0 | 5 | 5 |
| Tom | 5 | 0 | 4 | 0 | 4 | 4 |
| John | 0 | 3 | 0 | 5 | 4 | 5 |
| Fred | 5 | 4 | 3 | 3 | 5 | 5 |
NMF
关于NMF，在浅谈隐语义模型和NMF已经有过介绍。
用户和物品的主题分布
#!/usr/bin/python2.7
# coding: UTF-8
import numpy as np
from sklearn.decomposition import NMF
import matplotlib.pyplot as plt
RATE_MATRIX = np.array(
[[5, 5, 3, 0, 5, 5],
[5, 0, 4, 0, 4, 4],
[0, 3, 0, 5, 4, 5],
[5, 4, 3, 3, 5, 5]]
)
nmf = NMF(n_components=2) # 设有2个隐主题
user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)
item_distribution = nmf.components_
print '用户的主题分布：'
print user_distribution
print '物品的主题分布：'
print item_distribution
运行后输出：
用户的主题分布：
[[ 2.20884275 0.84137492]
[ 2.08253282 -0. ]
[-0. 3.18154406]
[ 1.84992603 1.60839505]]
物品的主题分布：
[[ 2.4129931 1.02524235 1.62258152 0. 1.80111078 1.69591943]
[ 0.0435741 1.13506094 0. 1.54526337 1.21253494 1.48756118]]
可视化物品的主题分布：
#!/usr/bin/python2.7
# coding: UTF-8
import numpy as np
from sklearn.decomposition import NMF
import matplotlib.pyplot as plt
RATE_MATRIX = np.array(
[[5, 5, 3, 0, 5, 5],
[5, 0, 4, 0, 4, 4],
[0, 3, 0, 5, 4, 5],
[5, 4, 3, 3, 5, 5]]
)
nmf = NMF(n_components=2)
user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)
item_distribution = nmf.components_
item_distribution = item_distribution.T
plt.plot(item_distribution[:, 0], item_distribution[:, 1], "b*")
plt.xlim((-1, 3))
plt.ylim((-1, 3))
plt.title(u'the distribution of items (NMF)')
count = 1
for item in item_distribution:
plt.text(item[0], item[1], 'item '+str(count), bbox=dict(facecolor='red', alpha=0.2),)
count += 1
plt.show()
结果：
从距离的角度来看，item 5和item 6比较类似；从余弦相似度角度看，item 2、5、6 比较相似，item 1、3比较相似。
可视化用户的主题分布：
#!/usr/bin/python2.7
# coding: UTF-8
import numpy as np
from sklearn.decomposition import NMF
import matplotlib.pyplot as plt
RATE_MATRIX = np.array(
[[5, 5, 3, 0, 5, 5],
[5, 0, 4, 0, 4, 4],
[0, 3, 0, 5, 4, 5],
[5, 4, 3, 3, 5, 5]]
)
nmf = NMF(n_components=2)
user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)
item_distribution = nmf.components_
users = ['Ben', 'Tom', 'John', 'Fred']
zip_data = zip(users, user_distribution)
plt.title(u'the distribution of users (NMF)')
plt.xlim((-1, 3))
plt.ylim((-1, 4))
for item in zip_data:
user_name = item[0]
data = item[1]
plt.plot(data[0], data[1], "b*")
plt.text(data[0], data[1], user_name, bbox=dict(facecolor='red', alpha=0.2),)
plt.show()
结果：
从距离的角度来看，Fred、Ben、Tom的口味差不多；从余弦相似度角度看，Fred、Ben、Tom的口味还是差不多。
如何推荐
现在对于用户A，如何向其推荐物品呢？
方法1： 找出与用户A最相似的用户B，将B评分过的、评分较高、A没评分过的的若干物品推荐给A。
方法2： 找出用户A评分较高的若干物品，找出与这些物品相似的、且A没评分的若干物品推荐给A。
方法3： 找出用户A最感兴趣的k个主题，找出最符合这k个主题的、且A没评分的若干物品推荐给A。
方法4： 由NMF得到的两个矩阵，重建评分矩阵。例如：
#!/usr/bin/python2.7
# coding: UTF-8
import numpy as np
from sklearn.decomposition import NMF
import matplotlib.pyplot as plt
RATE_MATRIX = np.array(
[[5, 5, 3, 0, 5, 5],
[5, 0, 4, 0, 4, 4],
[0, 3, 0, 5, 4, 5],
[5, 4, 3, 3, 5, 5]]
)
RATE_MATRIX[1, 2] = 0 # 对评分矩阵略做修改
print '新评分矩阵：'
print RATE_MATRIX
nmf = NMF(n_components=2)
user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)
item_distribution = nmf.components_
reconstruct_matrix = np.dot(user_distribution, item_distribution)
filter_matrix = RATE_MATRIX < 1e-6 # 小于0
print '重建矩阵，并过滤掉已经评分的物品：'
print reconstruct_matrix*filter_matrix
运行结果：
新评分矩阵：
[[5 5 3 0 5 5]
[5 0 0 0 4 4]
[0 3 0 5 4 5]
[5 4 3 3 5 5]]
重建矩阵，并过滤掉已经评分的物品：
[[ 0. 0. 0. 0.80443133 0. 0. ]
[ 0. 2.19148602 1.73560797 0. 0. 0. ]
[ 0.02543568 0. 0.48692891 0. 0. 0. ]
[ 0. 0. 0. 0. 0. 0. ]]
对于Tom（评分矩阵的第2行），其未评分过的物品是item 2、item 3、item 4。item 2的推荐值是2.19148602，item 3的推荐值是1.73560797，item 4的推荐值是0，若要推荐一个物品，推荐item 2。
如何处理有评分记录的新用户
NMF是将非负矩阵V分解为两个非负矩阵W和H：
V = W×H
在本文上面的实现中，V对应评分矩阵，W是用户的主题分布，H是物品的主题分布。
对于有评分记录的新用户，如何得到其主题分布？
方法1： 有评分记录的新用户的评分数据放入评分矩阵中，使用NMF处理新的评分矩阵。
方法2： 物品的主题分布矩阵H保持不变，将V更换为新用户的评分组成的行向量，求W即可。
下面尝试一下方法2。
设新用户Bob的评分记录为：
[5,5,0,0,0,5]
#!/usr/bin/python2.7
# coding: UTF-8
import numpy as np
from sklearn.decomposition import NMF
import matplotlib.pyplot as plt
RATE_MATRIX = np.array(
[[5, 5, 3, 0, 5, 5],
[5, 0, 4, 0, 4, 4],
[0, 3, 0, 5, 4, 5],
[5, 4, 3, 3, 5, 5]]
)
nmf = NMF(n_components=2)
user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)
item_distribution = nmf.components_
bob = [5, 5, 0, 0, 0, 5]
print 'Bob的主题分布：'
print nmf.transform(bob)
运行结果是：
Bob的主题分布：
[[ 1.37800534 0.69236738]]
经典SVD
关于SVD的一篇好文章：强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用。
相关分析与上面类似，这里就直接上代码了。
#!/usr/bin/python2.7
# coding: UTF-8
import numpy as np
from scipy.sparse.linalg import svds
from scipy import sparse
import matplotlib.pyplot as plt
def vector_to_diagonal(vector):
"""
将向量放在对角矩阵的对角线上
:param vector:
:return:
"""
if (isinstance(vector, np.ndarray) and vector.ndim == 1) or \
isinstance(vector, list):
length = len(vector)
diag_matrix = np.zeros((length, length))
np.fill_diagonal(diag_matrix, vector)
return diag_matrix
return None
RATE_MATRIX = np.array(
[[5, 5, 3, 0, 5, 5],
[5, 0, 4, 0, 4, 4],
[0, 3, 0, 5, 4, 5],
[5, 4, 3, 3, 5, 5]]
)
RATE_MATRIX = RATE_MATRIX.astype('float')
U, S, VT = svds(sparse.csr_matrix(RATE_MATRIX), k=2, maxiter=200) # 2个隐主题
S = vector_to_diagonal(S)
print '用户的主题分布：'
print U
print '奇异值：'
print S
print '物品的主题分布：'
print VT
print '重建评分矩阵，并过滤掉已经评分的物品：'
print np.dot(np.dot(U, S), VT) * (RATE_MATRIX < 1e-6)
运行结果：
用户的主题分布：
[[-0.22279713 0.57098887]
[-0.51723555 0.4274751 ]
[ 0.82462029 0.38459931]
[ 0.05319973 0.58593526]]
奇异值：
[[ 6.39167145 0. ]
[ 0. 17.71392084]]
物品的主题分布：
[[-0.53728743 0.24605053 -0.40329582 0.67004393 0.05969518 0.18870999]
[ 0.44721867 0.35861531 0.29246336 0.20779151 0.50993331 0.53164501]]
重建评分矩阵，并过滤掉已经评分的物品：
[[ 0. 0. 0. 1.14752376 0. 0. ]
[ 0. 1.90208543 0. -0.64171368 0. 0. ]
[ 0.21491237 0. -0.13316888 0. 0. 0. ]
[ 0. 0. 0. 0. 0. 0. ]]
可视化一下：
经典SVD + 协同过滤
0代表没有评分，但是上面的方法（如何推荐这一节的方法4）又确实把0看作了评分，所以最终得到的只是一个推荐值（而且总体都偏小），而无法当作预测的评分。在How do I use the SVD in collaborative filtering?有这方面的讨论。
SVD简要介绍
SVD的目标是将m*n大小的矩阵A分解为三个矩阵的乘积：
A=U∗S∗VTA=U∗S∗VT
U和V都是正交矩阵，大小分别是m*m、n*n。S是一个对角矩阵，大小是m*n，对角线存放着奇异值，从左上到右下依次减小，设奇异值的数量是r。
取k，k<<r。
取得UU的前k列得到UkUk，SS的前k个奇异值对应的方形矩阵得到SkSk，VTVT的前k行得到VTkVkT，于是有
Ak=Uk∗Sk∗VTkAk=Uk∗Sk∗VkT
AkAk可以认为是AA的近似。
下面的算法将协同过滤和SVD结合了起来。
Item-based Filtering Enhanced by SVD
这个算法来自下面这篇论文：
Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.
1、 设评分矩阵为R，大小为m*n，m个用户，n个物品。R中元素rijrij代表着用户uiui对物品ijij的评分。
2、 预处理R，消除掉其中未评分数据（即值为0）的评分。
- 计算
R中每一行的平均值（平均值的计算中不包括值为0的评分），令Rfilled−in=RRfilled−in=R，然后将Rfilled−inRfilled−in中的0设置为该行的平均值。 - 计算
R中每一列的平均值（平均值的计算中不包括值为0的评分）riri，Rfilled−inRfilled−in中的所有元素减去对应的riri，得到正规化的矩阵RnormRnorm。(norm，即normalized)。
3、 对RnormRnorm进行奇异值分解，得到： Rnorm=U∗S∗VTRnorm=U∗S∗VT
4、 设正整数k，取得UU的前k列得到UkUk，SS的前k个奇异值对应的方形矩阵得到SkSk，VTVT的前k行得到VTkVkT，于是有
Rred=Uk∗Sk∗VTkRred=Uk∗Sk∗VkT
red，即dimensionality reduction中的reduction。可以认为k是指最重要的k个主题。定义RredRred中元素rrijrrij用户i对物品j在矩阵RredRred中的值。
5、 Uk∗S12kUk∗Sk12，是用户相关的降维后的数据，其中的每行代表着对应用户在新特征空间下位置。S12k∗VTkSk12∗VkT，是物品相关的降维后的数据，其中的每列代表着对应物品在新特征空间下的位置。
S12k∗VTkSk12∗VkT中的元素mrijmrij代表物品j在新空间下维度i中的值，也可以认为是物品j属于主题i的程度。（共有k个主题）。
6、 获取物品之间相似度。
根据S12k∗VTkSk12∗VkT计算物品之间的相似度，例如使用余弦相似度计算物品j和f的相似度：
相似度计算出来后就可以得到每个物品最相似的若干物品了。
7、 使用下面的公式预测用户a对物品j的评分：
这个公式里有些变量的使用和上面的冲突了（例如k）。 ll是指取物品j最相似的ll个物品。 mrijmrij代表物品j在新空间下维度i中的值，也可以认为是物品j属于主题i的程度。 simjksimjk是物品j和物品k的相似度。 RredRred中元素rrakrrak是用户a对物品k在矩阵RredRred中对应的评分。ra¯ra¯是指用户a在评分矩阵RR中评分的平均值（平均值的计算中不包括值为0的评分）。
参考
SVD Recommendation System in Ruby 这篇文章使用的数据来自该链接，里面处理新用户的方法表示没看懂。
How do I use the SVD in collaborative filtering?
Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.