计几算法补充

时间:2022-02-12 15:44:39

计几算法补充

Tags:高级算法


Pick定理

内容

定点都是整点的多边形,内部整点数为\(innod\),边界整点数\(ednod\),\(S=innod+\frac{ednod}{2}-1\)

证明

把每个整点近似地看成一个圆,那么多边形内部的整点所代表的圆全部被算入
多边形边界上的圆被算了一半
顶点上被算了\(\sum 半圆-外角\),外角和360度,于是\(-1\)

应用

POJ2954 求格点三角形内部点数

圆的反演变换

内容

反演中心为\(O\),反演半径为\(R\),若经过\(O\)的直线经过\(P,P'\),且\(OP*OP'=R^2\),则称\(P\)\(P'\)关于\(O\)互为反演

性质

  • 1.一根过\(O\)的直线的反形是本身
  • 2.一根不过\(O\)的直线的反形是一个过\(O\)的圆
  • 3.一个过\(O\)的圆的反形是一根不过\(O\)的直线
  • 4.一个不过\(O\)的圆的反形是一个和该圆关于\(O\)位似的圆

下面这张图可以粗略解释一下有这么个东西:两种不同颜色的三角形相似,可以证出\(CD\)关于\(E\)的反形为圆
计几算法补充

  • 5.反演不改变相切关系

应用

1、求平面内与原点四点共圆的三元组个数

Problem Provider:自为风月马前卒
对所有点反演后求三点共线的三元组即可

2、求经过P点并与两给定相离圆外切的圆

参考博客:ACdreamer反演教程水郁图文cdsszjj题解教你尺规画图
Problem Provider:HDU4773 Problem of Apollonius
先将两相离圆关于P反演,然后做反形的公切线,反演回来成为公切圆

TBC...