[Sdoi2016]平凡的骰子

时间:2021-07-04 12:54:10

描述

  这是一枚平凡的骰子。它是一个均质凸多面体,表面有n个端点,有f个面,每一面是一个凸多边形,且任意两面不共面。将这枚骰子抛向空中,骰子落地的时候不会发生二次弹跳(这是一种非常理想的情况)。你希望知道最终每一面着地的概率。
  每一面着地的概率可以用如下的方法计算:我们假设O为骰子的重心,并以O为球心,做半径为1的单位球面(记为S)。我们知道S的表面积即单位球的表面积,为4*pi,这里pi为圆周率。对于骰子的某一面C来说,球面S上存在一块区域T满足:当下落时若骰子所受重力方向与S的交点落在T中,则C就是最终着地的一面。那么C着地的概率为区域T的面积除以4*pi。

  为了能更好地辅助计算球面上一块区域的面积,我们给出单位球面 S 上三角形的面积计算公式。考虑单位球面 S 上的三个两两相交的大圆,交点依次为A,B 和 C。则曲面三角形 ABC 的面积为 Area(ABC)=alpha+beta+gamma-pi,其中 alpha,beta 和 gamma 分别对应了三个二面角的大小。如下图所示。

[Sdoi2016]平凡的骰子

  我们保证:每一面着地的时候,重心的垂心都恰好在这一面内。也就是说不会出现摆不稳的情况。

格式

输入格式

  第一行输入两个整数,分别表示端点总数n与表面总数f,分别从1开始编号。
  之后n行,每行有三个浮点数x,y和z,给出了每一个端点的坐标。之后f行依次描述了每一块表面,首先给出不小于3的整数d,表示这一面的端点个数,之后d个整数按照逆时针方向(视角在骰子的外面)给出了每一个端点的编号。

输出格式

  输出f行,第i行有一个浮点数,表示第i个面着地的概率。
 本题中您的输出应该保留距离答案最近的7位小数,即在需要保留7位小数的前提之下与标准答案最接近。数据保证可以避免对小数点后第八位四舍五入后产生的精度误差。

样例1

样例输入1

8 6
1 0 0
1 1 0
1 0 1
1 1 1
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 1 1
4 1 2 4 3
4 2 6 8 4
4 6 5 7 8
4 5 1 3 7
4 3 4 8 7
4 1 5 6 2

样例输出1

0.1666667
0.1666667
0.1666667
0.1666667
0.1666667
0.1666667

限制

首先存在20%的数据,骰子为长方体。
其次存在20%的数据,骰子为四面体。
余下的数据中有30%的数据,每一面都是三角形。
对于100%的数据,4<=n<=100且4<=m<=100,所有坐标的绝对值都在10000以内。

来源

SDOI 2016 round2 day2

  • 三维计算几何。
  • 需要混合积求四面体体积;
  • 四面体剖分后合并带权重心求总重心;
  • 四面体重心的横纵坐标是四个顶点的横纵坐标的平均数;
  • 三维差积求平面的法向量;
  • 点积求法向量夹角(二面角)
  • 这些知识就可以了AC此题了。
  • 时间复杂度O(nf)O(nf),注意n,f≤100n,f≤100,题面描述有误。
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline void read(int &x){
register char ch=getchar();x=;
while(ch<''||ch>'') ch=getchar();
while(ch>=''&&ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
}
const int N=;
typedef double real;
const real pi=acos(-);
struct point{
real x,y,z;
point(){}
point(real _x,real _y,real _z):x(_x),y(_y),z(_z){}
point operator +(const point &a)const{
return point(x+a.x,y+a.y,z+a.z);
}
point operator -(const point &a)const{
return point(x-a.x,y-a.y,z-a.z);
}
point operator ^(const point &a)const{
return point(y*a.z-z*a.y,z*a.x-x*a.z,x*a.y-y*a.x);
}
real operator *(const point &a)const{
return x*a.x+y*a.y+z*a.z;
}
point operator /(const real &a)const{
return point(x/a,y/a,z/a);
}
const real len(){
return sqrt(x*x+y*y+z*z);
}
}P[N],H[N*N];
int n,m,Htot,f[N][N];
real val[N*N];
int main(){
read(n);read(m);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y,&P[i].z);
for(int i=;i<=m;i++){
read(f[i][]);
for(int j=;j<=f[i][];j++){
read(f[i][j]);
}
}
point u=P[];
for(int i=;i<=m;i++){
point u2=P[f[i][]],v1,v2;
for(int j=;j<f[i][];j++){
v1=P[f[i][j]];
v2=P[f[i][j+]];
H[++Htot]=(u+u2+v1+v2)/;//四面体重心
val[Htot]=fabs(((u2-v1)^(u2-v2))*(u-u2));//四面体体积
}
}
u=point(,,);
real valtot=;
for(int i=;i<=Htot;i++){
valtot+=val[i];
u=u+point(H[i].x*val[i],H[i].y*val[i],H[i].z*val[i]);
}
u=u/valtot;//球心坐标
for(int i=;i<=m;i++){
point u1,u2,u3;real co,ans=;
for(int j=,s1,s2;j<=f[i][];j++){//该平面拆成三角形,计算所有不同夹角
s1= j+;if(s1>f[i][]) s1=;
s2=s1+;if(s2>f[i][]) s2=;
u1=P[f[i][j]]-u;
u2=P[f[i][s1]]-u;
u3=P[f[i][s2]]-u;
u1=u1^u2;//面(u1,u2)的法向量
u3=u3^u2;//面(u2,u3)的法向量
co=u1*u3/u1.len()/u3.len();//二面角夹角
ans+=acos(co);
}
ans-=pi*(f[i][]-);
printf("%.7lf\n",ans//pi);
}
return ;
}