一、什么是SVM？
SVM（Support Vector Machine）又称为支持向量机，是一种二分类的模型。当然如果进行修改之后也是可以用于多类别问题的分类。支持向量机可以分为线性和非线性两大类。其主要思想为找到空间中的一个更够将所有数据样本划开的超平面，并且使得本集中所有数据到这个超平面的距离最短。
那么，又怎么表示这个“都正确”呢？可以这样考虑：就是让那些“很有可能不正确”的数据点彼此分开得明显一点就可以了。对于其它“不那么可能不正确”或者说“一看就很正确”的数据点，就可以不用管了。这也是SVM名称的由来，模型是由那些支持向量（Support Vector）决定的。这也是为什么SVM对outlier不敏感。SVM 的最终决策函数只由少数的支持向量所确定,计算的复杂性取决于支持向量的数目,而不是样本空间的维数,这在某种意义上避免了“维数灾难”。
二、有几种SVM？
| 硬间隔SVM |  |
| 软间隔SVM | 
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| kernel SVM | 
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三、几何形式>>>>>>最大间隔分类器的数学形式
四、硬间隔SVM的推导
利用拉格朗日函数将带约束的原问题转换为无约束的问题，再利用强对偶性，得到无约束问题的等价形式，从而得到硬间隔SVM的数学形式
为什么将原问题转为对偶问题？
- 对偶问题将原始问题中的约束转为了对偶问题中的等式约束（KKT）
- 方便核函数的引入
- 改变了问题的复杂度。由求特征向量w转化为求比例系数a，在原始问题下，求解的复杂度与样本的维度有关，即w的维度。在对偶问题下，只与样本数量有关。
五、软间隔SVM的推导
六、核函数的选择
1、线性核函数
线性核，主要用于线性可分的情况，我们可以看到特征空间到输入空间的维度是一样的，其参数少速度快，对于线性可分数据，其分类效果很理想，因此我们通常首先尝试用线性核函数来做分类，看看效果如何，如果不行再换别的
2、多项式核函数
多项式核函数可以实现将低维的输入空间映射到高纬的特征空间，但是多项式核函数的参数多，当多项式的阶数比较高的时候，核矩阵的元素值将趋于无穷大或者无穷小，计算复杂度会大到无法计算。
3、高斯（RBF）核函数
高斯径向基函数是一种局部性强的核函数，其可以将一个样本映射到一个更高维的空间内，该核函数是应用最广的一个，无论大样本还是小样本都有比较好的性能，而且其相对于多项式核函数参数要少，因此大多数情况下在不知道用什么核函数的时候，优先使用高斯核函数。
4、sigmoid核函数
采用sigmoid核函数，支持向量机实现的就是一种多层神经网络。
因此，在选用核函数的时候，如果我们对我们的数据有一定的先验知识，就利用先验来选择符合数据分布的核函数；如果不知道的话，通常使用交叉验证的方法，来试用不同的核函数，误差最小的即为效果最好的核函数，或者也可以将多个核函数结合起来，形成混合核函数。选择核函数的技巧：
- 如果特征的数量大到和样本数量差不多，则选用LR或者线性核的SVM；
- 如果特征的数量小，样本的数量正常，则选用SVM+高斯核函数；
- 如果特征的数量小，而样本的数量很大，则需要手工添加一些特征从而变成第一种情况。
七、SVM总结
- 非线性映射是SVM方法的理论基础,SVM利用内积核函数代替向高维空间的非线性映射；
- 对特征空间划分的最优超平面是SVM的目标,最大化分类边际的思想是SVM方法的核心；
- 支持向量是SVM的训练结果,在SVM分类决策中起决定作用的是支持向量。
- SVM 是一种有坚实理论基础的新颖的小样本学习方法。它基本上不涉及概率测度及大数定律等,因此不同于现有的统计方法。从本质上看,它避开了从归纳到演绎的传统过程,实现了高效的从训练样本到预报样本的“转导推理”,大大简化了通常的分类和回归等问题。
- SVM 的最终决策函数只由少数的支持向量所确定,计算的复杂性取决于支持向量的数目,而不是样本空间的维数,这在某种意义上避免了“维数灾难”。
- 少数支持向量决定了最终结果,这不但可以帮助我们抓住关键样本、“剔除”大量冗余样本,而且注定了该方法不但算法简单,而且具有较好的“鲁棒”性。这种“鲁棒”性主要体现在:
①增、删非支持向量样本对模型没有影响;
②支持向量样本集具有一定的鲁棒性;
③有些成功的应用中,SVM 方法对核的选取不敏感
- SVM学习问题可以表示为凸优化问题，因此可以利用已知的有效算法发现目标函数的全局最小值。而其他分类方法（如基于规则的分类器和人工神经网络）都采用一种基于贪心学习的策略来搜索假设空间，这种方法一般只能获得局部最优解。
- SVM通过最大化决策边界的边缘来控制模型的能力。尽管如此，用户必须提供其他参数，如使用核函数类型和引入松弛变量等。
- SVM在小样本训练集上能够得到比其它算法好很多的结果。支持向量机之所以成为目前最常用，效果最好的分类器之一，在于其优秀的泛化能力，这是是因为其本身的优化目标是结构化风险最小，而不是经验风险最小，因此，通过margin的概念，得到对数据分布的结构化描述，因此减低了对数据规模和数据分布的要求。SVM也并不是在任何场景都比其他算法好，对于每种应用，最好尝试多种算法，然后评估结果。如SVM在邮件分类上，还不如逻辑回归、KNN、bayes的效果好。
- 它基于结构风险最小化原则，这样就避免了过学习问题，泛化能力强。
- 它是一个凸优化问题，因此局部最优解一定是全局最优解的优点。
- 泛华错误率低，分类速度快，结果易解释
补充：约束优化问题和对偶问题
参考文献：