一、Model representation（模型表示）
1.1 训练集
由训练样例(training example)组成的集合就是训练集(training set), 如下图所示, 其中(x,y)是一个训练样例, (x(i),y(i))是第 i个训练样例.
1.2 假设函数
使用某种学习算法对训练集的数据进行训练, 我们可以得到假设函数(Hypothesis Function), 如下图所示. 在房价的例子中，假设函数就是一个房价关于房子面积的函数。有了这个假设函数之后, 给定一个房子的面积我们就可以预测它的价格了.
Hypothesis这个词或许在这里不是很恰当。但这是机器学习中使用的标准术语.
以上这个模型就叫做单变量的线性回归(Linear Regression with One Variable). (Linear regression with one variable = Univariate linear regression，univariate是one variable的装逼写法.)
二、Cost Function（代价函数）
2.1 什么是代价函数
只要我们知道了假设函数, 我们就可以进行预测了. 关键是, 假设函数中有两个未知的量θ0,θ1. 当选择不同的θ0和θ1时, 我们模型的效果肯定是不一样的.
如下图所示, 列举了三种不同的θ0和θ1下的假设函数.
(其中的1/2只是为了后面计算的方便)我们记:
这样就得到了我们的代价函数(cost function), 也就是我们的优化目标, 我们想要代价函数最小:
代价函数也被称为平方误差函数(Squared error function）
2.2 代价函数与假设函数
2.2 代价函数与假设函数II
类似地：
我们不断尝试直到找到一个最佳的hθ(x)hθ(x)。是否有特定的算法能帮助我们找到最佳的hθ(x)hθ(x)呢?
下面我们就要介绍这个算法-梯度下降算法.
三. 梯度下降算法
3.1 梯度下降
可以把梯度下降的过程想象成下山坡, 如果想要尽可能快的下坡, 应该每次都往坡度最大的方向下山.
梯度下降算法得到的结果会受到初始状态的影响, 即当从不同的点开始时, 可能到达不同的局部极小值, 如下图:
3.2 梯度和学习率
我们先来看看梯度下降算法的梯度是如何帮助我们找到最优解的. 为了研究问题的方便我们还是同样地令θ0θ0等于0，假设一开始选取的θ1θ1在最低点的右侧，此时的梯度(斜率)是一个正数。根据上面的算法更新θ1θ1的时候，它的值会减小, 即靠近最低点。
类似地假设一开始选取的θ1θ1在最低点的左侧，此时的梯度是一个负数，根据上面的算法更新θ1θ1的时候，它的值会增大，也会靠近最低点.
如果一开始选取的θ1θ1恰好在最适位置，那么更新θ1θ1时，它的值不会发生变化。
学习率α会影响梯度下降的幅度。如果α太小, θ的值每次会变化的很小，那么梯度下降就会非常慢；相反地，如果α过大，θ的值每次会变化会很大，有可能直接越过最低点，可能导致永远没法到达最低点。
由于随着越来越接近最低点, 相应的梯度(绝对值)也会逐渐减小，所以每次下降程度就会越来越小, 我们并不需要减小αα的值来减小下降程度。
3.3 计算梯度
根据定义, 梯度也就是代价函数对每个θ的偏导:
由此得到了完整的梯度下降算法:
还记得这个图吗, 前面说了梯度下降算法得到的结果会受初始状态的影响, 即初始状态不同, 结果可能是不同的局部最低点.
事实上，用于线性回归的代价函数总是一个凸函数(Convex Function)。这样的函数没有局部最优解，只有一个全局最优解。所以我们在使用梯度下降的时候，总会得到一个全局最优解。
下面我们来看一下梯度下降的运行过程：
迭代多次后，我们得到了最优解。现在我们可以用最优解对应的假设函数来对房价进行预测了。例如一个1,250平方英尺的房子大概能卖到250k$，如下图所示：
