BZOJ3209: 花神的数论题(数位DP)

时间:2022-11-15 23:20:22

题目:

3209: 花神的数论题

解析:

二进制的数位DP

因为\([1,n]\)中每一个数对应的二进制数是唯一的,我们枚举\(1\)的个数\(k\),计算有多少个数的二进制中有\(k\)个\(1\)

设\(n\)的二进制一共有\(num\)位,有\(sum[i]\)个数的二进制中有\(k\)个\(1\),

答案就是\(\prod_{i=1}^{num}i^{sum[i]}\)

用数位DP搞一下就好了

设\(f[i][j]\)表示到第\(i\)位有\(j\)个\(1\)时有多少个数

枚举\(k\),记搜一下。

由于可能会有很多数的二进制中有\(k\)个\(1\),所以用快速幂维护一下

相似思路的题还有1799: [Ahoi2009]self 同类分布

代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std; const int N = 60;
const int mod = 10000007; int n, m, num;
int digit[N], f[N][N]; int qpow(int a, int b) {
int ans = 1;
while (b) {
if (b & 1) ans = (ans * a) % mod;
b >>= 1, a = (a * a) % mod;
}
return ans % mod;
} int dfs(int pos, int sum, int cnt, int limit) {
if (pos == -1) return sum == cnt;
if (cnt > sum) return 0;
if (!limit && ~f[pos][cnt]) return f[pos][cnt];
int up = limit ? digit[pos] : 1;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= up; ++i)
ans = ans + dfs(pos - 1, sum, cnt + i, limit && i == up);
if (!limit) f[pos][cnt] = ans;
return ans;
} int divide(int x) {
int num = 0, ans = 1;
for ( ; x; x /= 2) digit[num++] = x % 2;
for (int i = 1; i <= num; ++i) {
memset(f, -1, sizeof f);
ans = (ans * qpow(i, dfs(num - 1, i, 0, 1))) % mod;
}
return ans % mod;
} signed main() {
cin >> n;
cout << divide(n);
}