「AHOI / HNOI2017」单旋

时间：2021-10-29 20:58:38

「AHOI / HNOI2017」单旋

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H 国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了 H 国的必修技能。有一天，邪恶的「卡」带着他的邪恶的「常数」来企图毁灭 H 国。「卡」给 H 国的人*说，splay 如果写成单旋的，将会更快。「卡」称「单旋 splay」为「spaly」。虽说他说的很没道理，但还是有 H 国的人相信了，小 H 就是其中之一，spaly 马上成为他的信仰。 而 H 国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由 \(m\) 个操作构成，他知道这样的数据肯定打垮 spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作所需要的实际代价的任务就交给你啦。

数据中的操作分为五种：

  1. 插入操作：向当前非空 spaly 中插入一个关键码为 \(\mathrm{key}\) 的新孤立节点。插入方法为，先让 \(\mathrm{key}\) 和根比较，如果 \(\mathrm{key}\) 比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，\(\mathrm{key}\) 比当前子树根 \(x\) 小，而 \(x\) 的左子树为空，那就让 \(\mathrm{key}\) 成为 \(x\) 的左孩子；

    或者 \(\mathrm{key}\) 比当前子树根 \(x\) 大，而 \(x\) 的右子树为空，那就让 \(\mathrm{key}\) 成为 \(x\) 的右孩子。该操作的代价为：插入后，\(\mathrm{key}\) 的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树。（各节点关键码互不相等。对于「深度」的解释见末尾对 spaly 的描述）。
  2. 单旋最小值：将 spaly 中关键码最小的元素 \(\mathrm{xmin}\) 单旋到根。操作代价为：单旋前 \(\mathrm{xmin}\) 的深度。（对于单旋操作的解释见末尾对 spaly 的描述）。
  3. 单旋最大值：将 spaly 中关键码最大的元素 \(\mathrm{xmax}\) 单旋到根。操作代价为：单旋前 \(\mathrm{xmax}\) 的深度。
  4. 单旋删除最小值：先执行 2 号操作,然后把根删除。由于 2 号操作之后,根没有左子树,所以直接切断根和右子树的联系即可（具体见样例解释）。 操作代价同 2 号操

    作。
  5. 单旋删除最大值：先执行 3 号操作,然后把根删除。 操作代价同 3 号操作。

「AHOI / HNOI2017」单旋

对于不是 H 国的人，你可能需要了解一些 spaly 的知识，才能完成国王的任务：

  • spaly 是一棵二叉树，满足对于任意一个节点 \(x\)，它如果有左孩子 \(\mathrm{lx}\)，那么 \(\mathrm{lx}\) 的关键码小于 \(x\) 的关键码。如果有右孩子 \(\mathrm{rx}\)，那么 \(\mathrm{rx}\) 的关键码大于 \(x\) 的关键码。

  • 一个节点在 spaly 的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。

  • 单旋操作是对于一棵树上的节点 \(x\) 来说的。一开始,设 \(f\) 为 \(x\) 在树上的父亲。如果 \(x\) 为 \(f\) 的左孩子，那么执行 \(\mathrm{zig}(x)\) 操作（如上图中，左边的树经过 \(\mathrm{zig}(x)\) 变为了右边的树），否则执行 \(\mathrm{zag}(x)\) 操作（在上图中，将右边的树经过 \(\mathrm{zag}(f)\) 就变成了左边的树）。每当执

    行一次 \(\mathrm{zig}(x)\) 或者 \(\mathrm{zag}(x)\)，\(x\) 的深度减小 \(1\)，如此反复，直到 \(x\) 为根。总之，单旋 \(x\) 就是通过反复执行 \(\mathrm{zig}\) 和 \(\mathrm{zag}\) 将 \(x\) 变为根。

    样例输入

    5
    
1 2
    
1 1
    
1 3
    
4
    
5

    样例输出

    1
    
2
    
2
    
2
    
2

\(1≤m≤10^5,1≤key≤10^9\)

做这种看起来很怪很不可做的题的关键是要发现特殊性质。

因为这道题只对最大/最小值进行单旋操作，我们就会发现每次操作只会\(zig\)或者只会\(zag\)。

以最小值\(x\)为例，只会进行\(zig\)操作。操作完了过后，原来\(x\)的右儿子深度不变，\(x\)的深度变为\(1\)，其他部分\(+1\)。并且\(x\)的右儿子的排名一定是连续的。所以我们就可以使用线段树了。

插入的时候我们找到前驱和后继，深度较深的那个就是父节点。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 100005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int m;

int key[N],tot;

int ch[N][2],fa[N];

bool isleaf(int v) {return !ch[v][0]&&!ch[v][1];}

set<int>::iterator it;

set<int>pos;

int rt;

map<int,int>id;

struct segment_tree {

	int rt,ls[N*100],rs[N*100],tag[N*100];

	int lx=0,rx=1e9;

	int cnt;

	void ADD(int &v,int old,int lx,int rx,int l,int r,int f) {

		if(lx>r||rx<l) return ;

		v=++cnt;

		ls[v]=ls[old],rs[v]=rs[old];

		tag[v]=tag[old];

		if(l<=lx&&rx<=r) {tag[v]+=f;return ;}

		int mid=lx+rx>>1;

		ADD(ls[v],ls[old],lx,mid,l,r,f);

		ADD(rs[v],rs[old],mid+1,rx,l,r,f);

	}

	void ADD(int l,int r,int f) {ADD(rt,rt,lx,rx,l,r,f);}

	int query(int v,int lx,int rx,int p) {

		if(!v) return 0;

		if(lx==rx) return tag[v];

		int mid=lx+rx>>1;

		if(p<=mid) return query(ls[v],lx,mid,p)+tag[v];

		else return query(rs[v],mid+1,rx,p)+tag[v];

	}

	int query(int v) {return query(rt,lx,rx,v);}

}T;

void Splay_mn() {

	int x=id[*pos.begin()];

	int dep=T.query(key[x]);

	if(fa[x]) {

		T.ADD(0,1e9,1);

		if(key[x]<key[fa[x]]) T.ADD(key[x]+1,key[fa[x]]-1,-1);

		T.ADD(key[x],key[x],1-T.query(key[x]));

		fa[ch[x][1]]=fa[x];

		ch[fa[x]][0]=ch[x][1];

		ch[x][1]=rt;

		fa[rt]=x,fa[x]=0;

		rt=x;

	}

	cout<<dep<<"\n";

}

void Splay_mx() {

	int x=id[*(--pos.end())];

	int dep=T.query(key[x]);

	if(fa[x]) {

		T.ADD(0,1e9,1);

		if(key[x]>key[fa[x]]) T.ADD(key[fa[x]]+1,key[x]-1,-1);

		T.ADD(key[x],key[x],1-T.query(key[x]));

		fa[ch[x][0]]=fa[x];

		ch[fa[x]][1]=ch[x][0];

		ch[x][0]=rt;

		fa[rt]=x,fa[x]=0;

		rt=x;

	}

	cout<<dep<<"\n";

}

int main() {

	id[0]=0;

	m=Get();

	int op;

	while(m--) {

		op=Get();

		if(op==1) {

			key[++tot]=Get();

			id[key[tot]]=tot;

			int dep=0;

			if(!pos.size()) {

				pos.insert(key[tot]);

				rt=tot;

			} else {

				int x=0,y=0;

				it=pos.lower_bound(key[tot]);

				if(it!=pos.end()) x=*it;

				if(it!=pos.begin()) y=*(--it);

				if(!x||!y) {

					x=id[x+y];

				} else {

					x=id[x],y=id[y];

					if(T.query(key[x])<T.query(key[y])) x=y;

				}

				dep=T.query(key[x]);

				fa[tot]=x;

				if(key[tot]>key[x]) ch[x][1]=tot;

				else ch[x][0]=tot;

				T.ADD(key[tot],key[tot],1);

			}

			pos.insert(key[tot]);

			T.ADD(key[tot],key[tot],dep+1-T.query(key[tot]));

			cout<<dep+1<<"\n";

		} else if(op==2) {

			Splay_mn();

		} else if(op==3) {

			Splay_mx();

		} else if(op==4) {

			Splay_mn();

			pos.erase(key[rt]);

			rt=ch[rt][1];

			fa[rt]=0;

			T.ADD(0,1e9,-1);

		} else {

			Splay_mx();

			pos.erase(key[rt]);

			rt=ch[rt][0];

			fa[rt]=0;

			T.ADD(0,1e9,-1);

		}

	}

	return 0;

}

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