伯努利分布、二项分布、多项分布、Beta分布、Dirichlet分布

时间:2021-12-11 10:54:48

1. 伯努利分布

伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或0-1分布,介绍伯努利分布前首先需要引入伯努利试验(Bernoulli trial)。

伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验,即对于一个随机变量X而言:

伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如,抛一次硬币是正面向上吗?刚出生的小孩是个女孩吗?等等

如果试验E是一个伯努利试验,将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
进行一次伯努利试验,成功(X=1)概率为p(0<=p<=1),失败(X=0)概率为1-p,则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布,其概率质量函数为:

2. 二项分布

二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。

如果试验E是一个n重伯努利试验,每次伯努利试验的成功概率为p,X代表成功的次数,则X的概率分布是二项分布,记为X~B(n,p),其概率质量函数为

显然,

从定义可以看出,伯努利分布是二项分布在n=1时的特例
二项分布名称的由来,是由于其概率质量函数中使用了二项系数,该系数是二项式定理中的系数,二项式定理由牛顿提出:

二项分布的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。
3. 多项分布

多项式分布(Multinomial Distribution)是二项式分布的推广。二项式做n次伯努利实验,规定了每次试验的结果只有两个,如果现在还是做n次试验,只不过每次试验的结果可以有多m个,且m个结果发生的概率互斥且和为1,则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。

扔骰子是典型的多项式分布。扔骰子,不同于扔硬币,骰子有6个面对应6个不同的点数,这样单次每个点数朝上的概率都是1/6(对应p1~p6,它们的值不一定都是1/6,只要和为1且互斥即可,比如一个形状不规则的骰子),重复扔n次,如果问有k次都是点数6朝上的概率就是

多项式分布一般的概率质量函数为:

4. 贝塔分布

在介绍贝塔分布(Beta distribution)之前,需要先明确一下先验概率、后验概率、似然函数以及共轭分布的概念。

通俗的讲,先验概率就是事情尚未发生前,我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料计算得到的先验概率,称为客观先验概率; 当历史资料无从取得或资料不完全时,凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率,称为主观先验概率。例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5,这就是主观先验概率。
后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息,利用贝叶斯公式对先验概率进行修正,而后得到的概率。
先验概率和后验概率的区别:先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的,而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的;后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料,既有先验概率资料,也有补充资料。另外一种表述:先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量;而后验概率(Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.)是在考虑了一个事实之后的条件概率。
似然函数
共轭分布(conjugacy):后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式
好了,有了以上先验知识后,终于可以引入贝塔分布啦!!首先,考虑一点,在试验数据比较少的情况下,直接用最大似然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象(比如,扔硬币三次都是正面,那么最大似然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面)。为了避免这种情况的发生,可以考虑引入先验概率分布来控制参数,防止出现过拟合现象。那么,问题现在转为如何选择!

先验概率和后验概率的关系为:

二项分布的似然函数为(就是二项分布除归一化参数之外的后面那部分,似然函数之所以不是pdf,是因为它不需要归一化):

如果选择的先验概率也与和次方德乘积的关系,那么后验概率分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。具体来说,选择prior的形式是,那么posterior就会变成这个样子了(为pdf的归一化参数),所以posterior和prior具有相同的函数形式(都是也与和次方的乘积),这样先验概率与后验概率就是共轭分布了。

所以,我们选择了贝塔分布作为先验概率,其概率分布函数为:

,其中

5. 狄利克雷分布

狄利克雷分布(Dirichlet distribution)是多项分布的共轭分布,也就是它与多项分布具有相同形式的分布函数。

概率分布函数为:

6. 后记

本篇博文只是将伯努利分布、二项分布、多项分布、贝塔分布和狄利克雷分布做了简单的介绍,其中涉及到大量的概率基础和高等数学的知识,文中的介绍只是粗浅的把这些分布的概念作了大概介绍,没有对这些分布的产生历史做介绍。我想,更好的介绍方式,应是从数学史的角度,将这几项分布的发现按照历史规律来展现,这样会更直观、形象。后续再补吧!
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