计算机图形学的一些公式

说明

本文公式由《数字图像处理（第三版）》中摘录而得，供以后参考。

正文

1.二维图像仿射变换矩阵图

2.双线性内插

v(x,y)=ax+by+cxy+d

3.双三次内插

v(x,y)=∑i=03∑j=03aijxiyj

4.二维傅里叶变换正、反变换核

r(x,y,u,v)=e−j2π(uxM+vyN)

s(x,y,u,v)=1MNej2π(uxM+vyN)

5.灰度级的概率和方差

• 灰度级zk的概率：p(zk)=nkMN，M和N为图像横纵像素点数量，nk为灰度级zk的数量；
• 平均灰度，其中L为灰度级总数：
  m=∑k=0L−1zkp(zk)
• 方差：
  σ2=∑k=0L−1(zk−m)2p(zk)
• 随机变量z关于均值的n阶矩定义：
  μn(z)=∑k=0L−1(zk−m)np(zk)
  
  n阶矩的意义：均值和方差对于视觉特性有更直接的联系，三阶矩的正值表示图像的灰度倾向于比均值高，负值表示图像的灰度倾向于比均值低，零表示图像的灰度平均分布于均值两侧。
  6.灰度级反转
  
  s=L−1−r
  
  7.灰度级对数变换
  
  s=clog(1+r)
  
  8.变换对应说明图
  
  9.幂律（伽马）变换
  
  s=crγ
  
  
  伽马校正：即使用设备的伽马值（例如阴极射线管CRT的灰度-电压响应即为伽马值在1.8-2.5之间的幂函数）的倒数对图像进行预处理后再输入到显示设备上。
  10.相关与卷积
  大小为m×n的滤波器w(x,y)与图像f(x,y)相关：
  
  w(x,y)☆f(x,y)=∑s=−aa∑t=−bbw(s,t)f(x+s,y+t)，其中a=m−12，b=n−12
  
  大小为m×n的滤波器w(x,y)与图像f(x,y)卷积：
  
  w(x,y)⋆f(x,y)=∑s=−aa∑t=−bbw(s,t)f(x−s,y−t)，其中a=m−12，b=n−12
  
  11.隶属度函数
  三角形：
  
  μ(z)=⎧⎩⎨⎪⎪1−a−zb,1−z−ac,0,其他a−b≤z<aa≤z≤a+c
  
  梯形：
  
  μ(z)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪1−a−zc,1,1−z−bd,0,其他a−c≤z<aa≤z<bb≤z≤b+d
  
  ∑：
  
  μ(z)=⎧⎩⎨1−a−zb,1,0,其他a−b≤z≤az>a
  
  S形：
  
  S(z;a,b,c)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,2(z−ac−a)2,1−2(z−cc−a)2,1,z<aa≤z≤bb<z≤cz>c
  
  钟形：
  
  μ(z)={S(z;c−b,c−b2,c),1−S(z;c,c+b2,c+b),z≤cz>c
  
  截尾高斯形：
  
  μ(z)={e−(z−a)22b2,0,其他a−c≤z≤a+c
  
  对应图形：
  
  12.卷积定理
  空间域的乘积的傅里叶变换等于频域的卷积：
  f(x)h(x)⇔F(x)★H(x)
  
  空间域的卷积的傅里叶变换等于频域的乘积：
  f(x)★h(x)⇔F(x)H(x)
  
  F(x)和H(x)分别为f(x)和h(x)的傅里叶变换
  13.取样定理
  如果以超过函数最高频率的2倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以完全的从它的样本集来恢复。
  14.二维傅里叶变换的对称性质
  
  15.颜色空间的转换
  归一化RGB转CMY:
  
  ⎡⎣⎢CMY⎤⎦⎥=⎡⎣⎢111⎤⎦⎥−⎡⎣⎢RGB⎤⎦⎥
  
  归一化RGB转HSI（R=G=B时可在求θ公式中给分母附加一个较小值以避免除0）:
  
  H={θ360−θ(B≤G)(B>G)其中,θ=arccos12[(R−G)+(R−B)][(R−G)2+(R−B)(G−B)]12
  
  
  S=1−3R+G+B[min(R,G,B)]
  
  
  I=13(R+G+B)
  
  归一化HSI转RGB：
  先将H乘以360°后
  若0°≤H<120° ，
  
  B=I(1−S)
  
  
  R=I[1+ScosHcos(60°−H)]
  
  
  G=3I−(R+B)
  
  若120°≤H<240°，先执行H=H−120°，再得 ，
  
  R=I(1−S)
  
  
  G=I[1+ScosHcos(60°−H)]
  
  
  B=3I−(R+G)
  
  若240°≤H≤360°，先执行H=H−240°，再得 ，
  
  G=I(1−S)
  
  
  B=I[1+ScosHcos(60°−H)]
  
  
  R=3I−(G+B)
  
  16.形态学操作