点积和叉积在计算机图形学的应用

点积和叉积在计算机图形学中，是最为基础且重要的概念，初学者弄清它的概念的应用，是很重要的。

前置知识

1. 列向量
   以下均采用列向量的表示方法，和线性代数书本上的行向量不同，采用列向量表示，则表达为列向量左乘矩阵，只是定义的不同，其他含义没有什么不同。列向量写法如下：
   $\overrightarrow{a} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \end{gathered} \right)$a=⎝⎛​xyz​​⎠⎞​
2. 单位化
   将向量的各分量除以向量的模即得单位向量，单位指模为1的向量。
3. 向量加减法的几何意义
   
4. 行列式
   行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积（二维）或体积（三维）的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

点积

点积在数学中，又称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。点积的结果是一个数。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| a \right| \left| b \right| cos {\theta}$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

相当于a向量的转置矩阵乘以向量b：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}^T \overrightarrow{b}$a⋅b=aTb

以二维向量为例：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = {x_{a}\choose y_{a}}^T {x_{a}\choose y_{b}} = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}$a⋅b=(ya​xa​​)T(yb​xa​​)=xa​xb​+ya​yb​

几何意义

a向量在b向量上投影的长度 乘以 b向量的长度（模）就是 点积的结果。
点乘是存在交换律的，所以也等同于：
b向量在a向量上投影的长度 乘以 a向量的长度就是 点积的结果。

在图形学的应用

1. 求两个向量的夹角
   当$\overrightarrow{a}$a与$\overrightarrow{b}$b都是单位向量（单位化），两个向量点积就是$\cos {\theta}$cosθ，在通过$\arccos$arccos 就可以求出夹角。

2. 求投影
   将$\overrightarrow{a}$a单位化，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$a⋅b就是$\overrightarrow{b}$b在$\overrightarrow{a}$a上的投影长度。
   《计算机图形学》书上有这么一个举例，利用投影将向量w分解成两个向量和：
   

3. 比较两个向量的接近程度（方向上）
   也就是向量是否两个向量间的夹角大小，在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。
   也常会用来判断两向量是否为同方向：
   

举个例子

判断一个点是都在某图形内：

叉积

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
$\left| \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \right| = \left| v \right| \left| w \right| sin {\theta}$∣∣∣​v×w∣∣∣​=∣v∣∣w∣sinθ
这只确定了叉积的长度，众所周知向量有长度，还有方向的，方向为两个向量和垂直方向，但是呢，垂直方向有两个。
这里我们采用右手螺旋定则确定方向。v到w的方向就是右手四指弯曲的方向，大拇指的方向就是叉积的方向。

二维向量的叉积是个标量，看起来违背了定义，先假设二维向量得出来的叉积是z，如果把二维向量看作成z轴值恒为0的三维向量，它们的叉积就$(0,0,z)^T$(0,0,z)T，三维空间被压缩成了二维，叉积就只是一个标量了。

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = x_vy_w - y_vx_w$v⋅w=xv​yw​−yv​xw​

三维向量的叉积的结果是个向量：

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = \left( \begin{gathered} \begin{matrix} y_v z_w - z_v y_w \\ z_vx_w - x_vz_w \\ x_vy_w - y_vx_w \end{matrix} \end{gathered} \right)$v⋅w=⎝⎛​yv​zw​−zv​yw​zv​xw​−xv​zw​xv​yw​−yv​xw​​​⎠⎞​
这个看起来很难记忆，我们随后再讲解。444额方法

几何意义

在二维空间，两个向量叉积就是两向量形成的平行四边形的面积，正负要引入Z轴，由右手螺旋定则确定，如果大拇指指向Z正轴就为正，反之为负；
在三维空间，两个向量叉积就是垂直于两向量形成的平面的向量（称为法向量）采用右手螺旋定则确定方向。v到w的方向就是右手四指弯曲的方向，大拇指的方向就是叉积的方向。

坐标系的问题

如果我们已知x坐标轴和y坐标轴，可以推导出z坐标轴。可能大家都听说过有左手坐标系和右手坐标系这两种说法，可以用x、y轴叉积与z轴的关系确定。
右手坐标系：
$\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = \overrightarrow{z}$x×y​=z
左手坐标系：
$\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{z}$x×y​=−z

在图形学的应用

1. 二维空间判断左右

2. 三维空间求法向量
法向量在计算图形学的应用很广泛，很多地方都会利用到，比如求已知入射角度$\overrightarrow{OB}$OB求一个平面的反射角度$\overrightarrow{BP}$BP。取平面上不共线的三个点ABC，求得法线
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{Z} （法线）$AB×AC=Z（法线）

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{Z}$BP=OB−Z

再举个例子

判断一个点是都在某图形内

以线性变换去看点乘和叉乘

这部分我是基于B站的一部分的视频总结的，如果觉得作者讲解不够好，可以去看原视频。

点乘

先来看两向量的点乘另一种求法，a向量的转置矩阵乘以向量b：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}^T \overrightarrow{b}$a⋅b=aTb
以二维空间为例，定义两个基向量组成的矩阵

$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)= 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$(21​)=2i+j​
点乘就是从二维空间到数轴的线性变换，将空间投影到给定的数轴来定义。
$\overrightarrow{a}^T$aT矩阵作用就是，将基变量在$\overrightarrow{a}$a上投影为两个数字，而不是向量，将此作为基变量去做线性变换，从而进行空间压缩。

叉乘

截了视频的两张图，

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right]$⎣⎡​xyz​⎦⎤​表示一个随机变量，也可理解为一个为向量的变量。
上图是一个变量为向量的函数。根据v w 可以求常量 p

有没有觉得$\overrightarrow{p}$p​与$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$u×v 叉积一模一样，我们从几何空间联系下它们。

先看左边，$\overrightarrow{p}$p​与随机变量的点积，其实就随机变量在$\overrightarrow{p}$p​的投影长度，再乘以$\overrightarrow{p}$p​的模。

再看看右边，是一个行列式，表示这三个向量组成的立方体的体积大小。

我们再回顾下，体积的求法，高✖️底面积（u v 组成底面）

高为随机变量在平面垂直方向的投影长度。

然后回想下，叉积的定义，模长为两向量组成的平面面积，且为这个平面的法线。

$\overrightarrow{p}$p​ 和 这个叉积是不是就联系上了。