连续信号（七）| 周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换

在一个周期内绝对可积的周期信号可以用傅里叶级数来表示，在无限区间内绝对可积的非周期信号可以用傅里叶变换来表示，分别解决了周期信号和非周期信号的频谱问题。实际上，通过在变换中引入冲激函数，可以得出周期信号的傅里叶变换，这样，就能把周期信号与非周期信号的频域分析统一起来，给分析带来便利。

1. 复指数信号$e^{jw_0t}$ejw0​t的傅里叶变换

考虑$x(t)e^{jw_0t}$x(t)ejw0​t的傅里叶变换为
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{jw_0t}e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j(w-w_0)t}dt$∫−∞∞​ejw0​te−jwtdt=∫−∞∞​x(t)e−j(w−w0​)tdt
设$x(t)$x(t)的傅里叶变换为$X(w)$X(w)，则上式为$X(w-w_0)$X(w−w0​)。

令$x(t)=1$x(t)=1，由$X(w)=2\pi\delta(w)$X(w)=2πδ(w)，于是得$e^{jw_0t}$ejw0​t的傅里叶变换为$X_e(w)=X(w-w_0)=2\pi\delta(w-w_0)$Xe​(w)=X(w−w0​)=2πδ(w−w0​)，即
$e^{jw_0t}\overset{F}{\leftrightarrow}2\pi\delta(w-w_0)$ejw0​t↔F2πδ(w−w0​)

复指数信号的频谱是实函数，因此相频为零

2. 正弦信号$sinw_0 t$sinw0​t的傅里叶变换

由欧拉公式有
$sinw_0t=\frac{1}{2j}(e^{jw_0t}-e^{-jw_0t})$sinw0​t=2j1​(ejw0​t−e−jw0​t)
根据复指数信号的傅里叶变换，有
$X_s(w)=F(sinw_0t)=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(w-w_0)-2\pi\delta(w+w_0)]=-j\pi\delta(w-w_0)+j\pi\delta(w+w_0)$Xs​(w)=F(sinw0​t)=2j1​[2πδ(w−w0​)−2πδ(w+w0​)]=−jπδ(w−w0​)+jπδ(w+w0​)
即
$sinw_0t\overset{F}{\leftrightarrow}-j\pi\delta(w-w_0)+j\pi\delta(w+w_0)$sinw0​t↔F−jπδ(w−w0​)+jπδ(w+w0​)

3. 余弦信号$cosw_0t$cosw0​t的傅里叶变换

同理，$cosw_0t=\frac{1}{2}(e^{jw_0t}+e^{-jw_0t})$cosw0​t=21​(ejw0​t+e−jw0​t)故有
$X_e(w)=F(cosw_0t)=\pi \delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)$Xe​(w)=F(cosw0​t)=πδ(w−w0​)+πδ(w+w0​)
即
$cosw_0t \overset{F}{\leftrightarrow}\pi \delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)$cosw0​t↔Fπδ(w−w0​)+πδ(w+w0​)

4. 一般周期信号的傅里叶变换

一般的周期信号$x(t)$x(t)可以展开成指数形式的傅里叶级数
$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nw_0)e^{jnw_0t}$x(t)=n=−∞∑∞​X(nw0​)ejnw0​t
对上式取傅里叶变换，有
$X(w)=F[x(t)]=F[\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nw_0)e^{jnw_0}t]=\sum_{n=\infty}^{\infty}X(nw_0)F[e^{jnw_0t}]$X(w)=F[x(t)]=F[n=−∞∑∞​X(nw0​)ejnw0​t]=n=∞∑∞​X(nw0​)F[ejnw0​t]
已知$e^{jnw_0t}$ejnw0​t的傅里叶变换为$2\pi\delta(w-nw_0)$2πδ(w−nw0​)，代入上式，即得
$X(w)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}2\pi X(nw_0)\delta(w-nw_0) \tag{5}$X(w)=n=−∞∑∞​2πX(nw0​)δ(w−nw0​)(5)
上式表明，周期信号的傅里叶变换（频谱密度函数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于周期信号的各谐波频率$nw_0(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$nw0​(n=0,±1,±2,⋯)处，其强度为各相应幅度$X(nw_0)$X(nw0​)的$2\pi$2π倍。

**例1：**求出信号的傅里叶级数展开式为
$X(nw_0)=\frac{E\tau}{T_0}Sa(\frac{1}{2}nw_0\tau)$X(nw0​)=T0​Eτ​Sa(21​nw0​τ)
代入式（5），即得出信号的傅里叶变换
$X(w)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}2\pi \frac{E\tau}{T_0}Sa(\frac{1}{2}nw_0\tau)\delta(w-w_0)=w_0E\tau\sum_{-\infty}^{\infty}Sa(\frac{1}{2}nw_0\tau)\delta(w-nw_0)$X(w)=n=−∞∑∞​2πT0​Eτ​Sa(21​nw0​τ)δ(w−w0​)=w0​Eτ−∞∑∞​Sa(21​nw0​τ)δ(w−nw0​)
下图a表明$T_0=2\tau$T0​=2τ时周期矩形脉冲信号的傅里叶变换$X(w)$X(w)，并将该信号傅里叶级数的复系数$X(nw_0)$X(nw0​)示于图b中。比较$X(w)$X(w)和$X(nw_0)$X(nw0​)的图形，我们可以看到，首先，它们都是频率离散的，其次，它们具有相同的包络线。然而它们又有明显的区别，傅里叶系数$X(nw_0)$X(nw0​)表示的是谐波分量的幅度，它们是有限值；而傅里叶变换$X(w)$X(w)则表示频谱密度，含单位频率所具有的频谱的物理意义，因此，它们是位于各谐波频率$nw_0$nw0​处的冲激函数，其强度为各相应$X(nw_0)$X(nw0​)的$2\pi$2π倍。

例2：求周期为$T_0$T0​的周期性冲激串$\delta_T(t)$δT​(t)的傅里叶变换。

解：冲激串$\delta_T(t)$δT​(t)可表示为
$\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$δT​(t)=n=−∞∑∞​δ(t−nT0​)
由于$\delta_T(t)$δT​(t)是周期函数，可展开成傅里叶级数
$\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nw_0)e^{jnw_0t}$δT​(t)=n=−∞∑∞​X(nw0​)ejnw0​t
式中，$w_0=\frac{2\pi}{T_0}$w0​=T0​2π​，以及$X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta_T(t)e^{-jnw_0t}dt$X(nw0​)=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​δT​(t)e−jnw0​tdt

在$(-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2})$(−2T0​​,2T0​​)周期内，$\delta_T(t)$δT​(t)即单位冲激信号$\delta(t)$δ(t)，所以
$X(nw_0)=\frac{1}{T_0}$X(nw0​)=T0​1​
代入式（5），即得$\delta_T(t)$δT​(t)的傅里叶变换为
$X(w)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}2\pi·\frac{1}{T_0}\delta(w-nw_0)=w_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(w-nw_0)$X(w)=n=−∞∑∞​2π⋅T0​1​δ(w−nw0​)=w0​n=−∞∑∞​δ(w−nw0​)
表明周期性冲激串$\delta_T(t)$δT​(t)的频谱密度仍然是一个冲激串，其频谱的间隔为$w_0$w0​，冲激强度也为$w_0$w0​，如下图所示。