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本文将介绍MATLAB遗传算法工具箱求解非线性规划问题。在阅读本文之前，建议读者阅读上一期“MATLAB遗传算法工具箱求解线性规划问题”。文章传送门：
Matlab遗传算法工具箱的使用及实例(线性规划)
一、引例
上一期介绍了遗传算法求解线性规划的问题。我们来看看下面这个例子，能否用上次讲的方法解决。
上述例子，第二个约束条件含有二次项，并不是线性的，用上次的方法好像无法直接解决。下面我们就来介绍一下非线性规划的遗传算法的实现。
二、非线性规划的标准形式
2.1 非线性规划的标准形式
和线性规划一样，在调用遗传算法工具箱之前，也得学习一下非线性规划的标准形式。因为，调用工具箱需要我们将非标准形式的模型转化为标准形式。
其中，f(x)是目标函数，线性或者非线性都可以。式[1]、式[2]、式[5]同线性规划，为相应维数的矩阵和向量。式[3]表示非线性的不等式约束，式[4]是非线性等式约束。c(x)和ceq(x)为非线性向量函数（这里可能不好理解，下面结合一个例子解释）
三、非线性规划模型的实例
3.1 还是前面出现的模型
1) 编写适应度函数(即目标函数)
目标函数的编写就不多说了，和之前线性规划的编写方法相同
function f = fitnessfun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^3 + 8;
end
2) 编写非线性约束函数
根据式[1]、[2]，非线性不等式约束的函数为：，
根据式[3]、[4]，等式约束的函数为：
非线性约束函数和需要在MATLAB中编写为如下格式（写在一个function里）
function [c, ceq] = 函数名(x)
参数和返回值解释：
x即为自变量的值，为行向量。c即不等式约束的函数值，是列向量（可以存在多个约束）。ceq即等式约束函数的函数值，同样是列向量（可以存在多个约束）
也就是本题返回值要写成这样的形式（这样看的更直观一些）：
因此，这题的function应定义为
function [c,ceq] = nonlconfun(x)
% 入口参数 x:为自变量的行向量
% 出口参数 c:非线性不等式约束的函数值。由于本题有两个不等式约束
% 因此c(1,1)为第一个不等式约束函数值，c(2,1)为第二个不等式约束函数值
% ceq:非线性等式约束的函数值，由于本题有两个等式约束，同c一样
% ceq(1,1)为第一个等式约束函数值，ceq(2,1)为第二个等式约束函数值
c(1,1) = -x(1)^2 + x(2) - x(3)^3;
c(2,1) = x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20;
ceq(1,1) = -x(1) - x(2)^2 + 2;
ceq(2,1) = x(2) + 2*x(3)^2 - 3;
end
3) 设置遗传算法工具箱的相关参数
这里我们设置种群规模300，迭代次数为800，返回值为options.
options = gaoptimset('PopulationSize', 300, 'Generations', 800);
4) 调用ga工具箱
我们知道，ga工具箱的调用格式为：
[x_best,fval] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options);
由于本题没有线性约束，因此参数A、b、Aeq、beq都可以设置为空。
对自变量x的约束为：【0，+无穷】，因此，lb = [0,0,0]，而ub可以不设置
因此，这部分代码为
options = gaoptimset('PopulationSize', 300, 'Generations', 800); % 遗传算法相关配置
fun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄
nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄
nvars = 3; % 自变量个数
A = []; b = [];
Aeq = []; beq = [];
lb = [0;0;0]; ub = [];
[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options);
完整的代码为：
clear;
clc
options = gaoptimset('PopulationSize',200, 'Generations', 600); % 遗传算法相关配置
fun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄
nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄
nvars = 3; % 自变量个数
A = []; b = [];
Aeq = []; beq = [];
lb = [0;0;0]; ub = [];
[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);
function [c,ceq] = nonlconfun(x)
c(1,1) = -x(1)^2 + x(2) - x(3)^3;
c(2,1) = x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20;
ceq(1,1) = -x(1) - x(2)^2 + 2;
ceq(2,1) = x(2) + 2*x(3)^2 - 3;
end
function f = fitnessfun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^3 + 8;
end
运行结果为：
fval的值为10.9886即为所求，此时x_best的值为[0.9917 1.0041 0.9988].
因此当时x1 = 0.9917;x2=1.0041;x3=0.9988，函数取到最小值10.9886
（遗传算法具有一定随机性，每次的运行结果有差别，建议多运行几遍程序，找一个最好的结果）
3.2 求下列问题的解
1) 编写目标函数
function f = fitnessfun(x)
f = -2 * x(1) - 3 * x(1)^2 - 3 * x(2) - x(2)^2 - x(3);
end
2）编写非线性约束函数
式[1]、[2]、[3]为非线性不等式约束，式[4]为非线性等式约束，因此
使用MATLAB编写为：
function [c,ceq] = nonlconfun(x)
% 入口参数 x:为自变量的行向量
% 出口参数 c:非线性不等式约束的函数值。由于本题有多个不等式约束，以列向量的形式返回即可
% ceq:非线性等式约束的函数值。
c(1,1) = x(1) + 2 * x(1)^2 + x(2) + 2 * x(2)^2 + x(3) - 10;
c(2,1) = x(1) + x(1)^2 + x(2) + x(2)^2 - x(3) - 50;
c(3,1) = 2 * x(1) + x(1)^2 + 2 * x(2) + x(3) - 40;
ceq = x(1)^2 + x(3) - 2;
end
3）调用ga函数
（这里就不调用gaoptimset函数配置遗传算法的参数了，直接使用默认参数）
式[5]、[6]为线性不等式约束，标准形式为Ax<=b
可转化为：，因此：
本题没有线性等式约束，也没有自变量约束，因此Aeq、beq、lb、ub均设置为空矩阵。写好ga所需的入口参数，即可调用ga函数，调用方式如下：
fun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄，(在函数名前加@即可)
nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄
nvars = 3; % 自变量个数
A = [-1,-2,0;-1,0,0]; b = [-1;0]; % 线性不等式约束
Aeq = []; beq = []; % 线性等式约束
lb = []; ub = []; % 自变量定义域
[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, []);
整体程序为：
clear;
clc
fun = @fitnessfun; % 设置适应度函数句柄，(在函数名前加@即可)
nonlcon = @nonlconfun; % 设置非线性约束函数句柄
nvars = 3; % 自变量个数
A = [-1,-2,0;-1,0,0]; b = [-1;0]; % 线性不等式约束
Aeq = []; beq = []; % 线性等式约束
lb = []; ub = []; % 自变量定义域
[x_best, fval] = ga(fun, nvars, A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,[]);
function [c,ceq] = nonlconfun(x)
c(1,1) = x(1) + 2 * x(1)^2 + x(2) + 2 * x(2)^2 + x(3) - 10;
c(2,1) = x(1) + x(1)^2 + x(2) + x(2)^2 - x(3) - 50;
c(3,1) = 2 * x(1) + x(1)^2 + 2 * x(2) + x(3) - 40;
ceq = x(1)^2 + x(3) - 2;
end
function f = fitnessfun(x)
f = -2 * x(1) - 3 * x(1)^2 - 3 * x(2) - x(2)^2 - x(3);
end
运行程序后，得到运行结果：fval的值为 -15.2409.由于我们在标准化模型时，将目标函数添加了一个负号，因此原函数的最大值约为15.2409.
（遗传算法具有一定随机性，每次的运行结果有差别，建议多运行几遍程序，找一个最好的结果）
