斜对称矩阵的性质-ansi-vita 62-2016 modular power supply standard

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文件名称：斜对称矩阵的性质-ansi-vita 62-2016 modular power supply standard
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更新时间：2021-06-09 22:34:47
集训队论文集 3.3 斜对称矩阵的性质 我们先定义斜对称矩阵的概念。 定义 3.4. 对于一个 n × n的矩阵 A，如果 AT = −A，即 Ai, j = −A j,i，那么我们称 A为斜对称 矩阵。 定义 2.1中的 Tutte矩阵就是一个斜对称矩阵。可以看到，我们前面的算法都是在围绕 计算 Tutte矩阵的行列式展开，这正是我们研究斜对称矩阵性质的原因。 引理 3.4. 对于一个 n × n的斜对称矩阵 A，如果 n是奇数，那么 det A = 0。 证明. 由行列式的相关知识可知，det A = det AT。又因为 AT = −A，所以 det A = det(−A) = (−1)n det A。 当 n为奇数时 (−1)n = −1，即 det A = − det A，于是 det A = 0。 � 定理 3.5. 对于一个 n×n的斜对称矩阵 A和一个行号的子集 I = {i1, i2, . . . , ik}，使得 Ai1,·, Ai2,·, . . . , Aik ,· 是 A的一组关于行的极大线性无关组，那么 det AI,I , 0。 证明. 不失一般性，设 I = {1, 2, . . . , k}。 因为 A1,·, A2,·, . . . , Ak,· 是 A关于行的一组极大线性无关组，由 A的斜对称性我们可以得 到 A·,1, A·,2, . . . , A·,k 是 A关于列的一组极大线性无关组。 因此，对于所有 k < i ≤ n，A·,i 都可以被 A·,1, A·,2, . . . , A·,k 线性表出。于是 rank AI,I = rank AI,· = k，即 det AI,I , 0。 � 推论 3.6. 对于一个斜对称矩阵 A，存在一个行号集合 I = {i1, i2, . . . , ik}，使得 rank A = rank AI,I = k。 定理 3.7. 一个斜对称矩阵的秩为偶数。 证明. 由推论 3.6可知，斜对称矩阵存在一个秩与它本身相等的满秩主子式。由于斜对称矩 阵的主子式也是斜对称的，结合引理 3.4 可知，这个主子式的秩为偶数。因此一个斜对称 矩阵的秩为偶数。 � 引理 3.8. 对于一个 n × n的可逆斜对称矩阵 A，以及任意的 i, j ∈ {1, . . . , n}, i , j，我们有 det Ai, j , 0当且仅当 det A{i, j},{i, j} , 0。 证明. 如果 det Ai, j , 0，那么 rank Ai, j = n − 1。由于 A{i, j},{i, j}是在 Ai, j的基础上删去一行一列 得到，因此 rank A{i, j},{i, j} ≥ n − 3。又因为 A{i, j},{i, j} 是斜对称矩阵，由定理 3.7它的秩为偶数， 因此 rank A{i, j},{i, j}一定为 n − 2。于是 det A{i, j},{i, j} , 0。 反过来, 如果 det A{i, j},{i, j} , 0，那么 rank A{i, j},{i, j} = n − 2，同时 rank Ai,{i, j} = n − 2，根 据定理 3.7，rank Ai,{i, j} = rank Ai,i = n − 2。这表明 Ai,∅ 的第 j列是其它列的线性组合。于是 rank Ai, j = rank Ai,∅ = n − 1，det Ai, j , 0。 � 20