2019年清华大学自主招生暨领军计划试题
**2019年清华大学自主招生暨领军计划试题**
1.一个四面体棱长分别为$6,6,6,6,6,9$,求其外接球的半径.
2.求$\displaystyle\int_{-1}^1{\left( 1-\sin x \right) x^2dx}$.
3.已知$P$为单位圆上一动点, $A(0,2),B(0,-1)$,求$|AP|\cdot |BP|^2$的最大值.
4.若集合$A$、$B$是正整数集的一个二划分,则
A.集合$A$中不存在三项等差,集合$B$中不存在无穷项等差
B.集合$A$中不存在三项等比,集合$B$中不存在无穷项等比
C.集合$A$中不存在三项等差,集合$B$中存在无穷项等差
D.集合$A$中存在三项等比,集合$B$中不存在无穷项等比
5. 已知$AB$为圆$O$的直径, $CO\bot AB$, $M$为$AC$的中点, $CH\bot MB$,则下列选项正确的是
A. $AM=2OH$
B. $AH=2OH$
C. $\triangle BOH\sim \triangle BMA$
D. $\triangle BOH\sim \triangle CHO$
6.若对$\forall c\in \mathbb{R},\exists a,b$,使得$\displaystyle\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f(c)$成立,则称函数$f(x)$满足性质$T$,下列函数不满足性质$T$的是
A. $f(x)=x^3-3x^2+3x$
B. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$
C. $f(x)=e^{x+1}$
D. $f(x)=\sin (2x+1)$
7.已知$\displaystyle\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=\text{1,}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2},\left( \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right) \left( \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b} \right) =0$,若$\left| \overrightarrow{d}-\overrightarrow{c} \right|=1$,求$\left|\overrightarrow{d}\right|$的最大值.
8.椭圆$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$,过$F(2,0)$的直线交椭圆于$A,B$两点,点$C$在真线$x=3$上,若$\triangle ABC$为正三角形,求$\triangle ABC$的面积.
9.圆$x^2+y^2=4$上一点$(x_0,y_0)$处的切线交抛物线$y^2=8x$于$A,B$两点,且满足$\angle AOB=90^\circ$,其中$O$为坐标原点,求$x_0$.
10. $A=\{ 1,2,3,\cdots,15\},B=\{ 1,2,3,4,5\}$, $f$是$A$到$B$的映射,若满足$f(x)=f(y)$,则称有序对$(x,y)$为“好对”,求“好对”的个数最小值.
11.实数$x,y$满足$x^2+(y-2)^2\leq 1$,求$\displaystyle\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{x^2+y^2}}$的最大值和最小值.
12.在三楼柱$ABC-A_1B_1C_1$中,已知$\angle ABC=90^\circ,AB=6,BC=BB_1=3\sqrt{2}$,动点$P$线段$B_1C$上,求$A_1P+BP$最小值.
13.设$f(x)=|x-1|+|x-3|,g(x)=2e^x$,求$f(x)+g(x)$最小值.
14.数列$\{a_n\}$满足: $a_1=3,a_{n+1}=a_n^2-3a_n+4$,则
A. $\{a_n\}$单调递增
B. $\{a_n\}$无单调性
C. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{a_i-1}=1$
D. $\{a_n\}$无上界
15.若正实数$a,b$满足$ab(a+8b)=20$,求$a+3b$的最小值.
16.设$x,y\in \mathbb{N}$,求方程$\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{100}$的解的个数.
17.设$a$为$4444^{4444}$各位数字和, $b$是$a$的各位数字之和, $c$为$b$的各位数字之和,求$c$的值.
18.令$\displaystyle z_k=\cos\frac{2k-2}{5}\pi+i\sin\frac{2k-2}{5}\pi\,(i=1,2,3,4,5)$,若$\displaystyle a_i=\prod_{i\neq j}(z_i-z_j)$,则
A. $a_1a_3a_4=125$
B. $a_1a_2a_3a_4a_5=5^5$
C. $a_2a_4^2=125$
D. $a_1=5$
19.若实数$x,y$满足$x^3+8y^3+ 6xy-1=0$,求$x^3y$的取值范围.
**【命题分析】**
第1题根据线段等式关系确定球心，根据勾股定理求出外接球的半径；第2题利用函数奇偶性计算定积分；第3题利用三角换元和均值不等式得到表达式的最大值；第4题考察反例和等差等比数列的性质；第5题是相似三角形，余弦定理等的综合运用；第6题以拉格朗日中值定理为背景，考察函数值域与逻辑命题；第7题考察向量的运算；第8题考察圆锥曲线和弦长公式在求解三角形面积中的综合运用；第9题与圆的切线方程有关；第10题对元素个数进行分类讨论，结合柯西不等式得到最小值；第11题根据斜率的几何意义求出函数的最值；第12题将三棱柱两个表面展开到同一平面即可;第13题利用分类讨论去绝对值得到函数的表达式；第14题考察数列极限，利用裂项相消法进行求和；第15题对表达式进行换元，再求导即可；第16题对两未知数的大小进行不等式估计，确定可能的整数取值；第17题利用不等式估计确定取值范围；第18题考察复数的性质以及三角恒等变形，属于联赛难度；第19题考察代数变形与最值计算.
**【小结】**
整体来看，本试卷考查知识点比较全面，涉及集合与三角函数，平面几何，立体几何，圆与圆锥曲线，不等式，数列与数列极限，导数与定积分，复数，数论等知识，题型灵活，难度较大.