带你彻底理解RSA算法原理,很简单的

时间:2022-01-03 18:27:00

1. 什么是RSA

  RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法,也是号称地球上最安全的加密算法。

  在了解RSA算法之前,先熟悉下几个术语 根据密钥的使用方法,可以将密码分为 对称密码 和 公钥密码

   对称密码:加密和解密使用同一种密钥的方式

   公钥密码:加密和解密使用不同的密码的方式,因此公钥密码通常也称为非对称密码。

2. RSA加密

RSA的加密过程可以使用一个通式来表达

 
密文=明文 E modN 

也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单?对,就是这么简单。

从通式可知,只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了,所以说E、N是RSA加密的密钥,也就是说E和N的组合就是公钥,我们用(E,N)来表示公钥

 
公钥=(E,N) 

不过E和N不并不是随便什么数都可以的,它们都是经过严格的数学计算得出的,关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密(Encryption)的首字母,N是数字(Number)的首字母

3. RSA解密

RSA的解密同样可以使用一个通式来表达

 
明文=密文 D modN 

也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文,这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了,所以D和N的组合就是私钥

 
私钥=(D,N) 

从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的,加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N” 此处D是解密(Decryption)的首字母;N是数字(Number)的首字母。

带你彻底理解RSA算法原理,很简单的

4. 生成密钥对

既然公钥是(E,N),私钥是(D,N)所以密钥对即为(E,D,N)但密钥对是怎样生成的?步骤如下:

  1. 求N
  2. 求L(L为中间过程的中间数)
  3. 求E
  4. 求D

4.1 求N

准备两个质数p,q。这两个数不能太小,太小则会容易破解,将p乘以q就是N

 
N=p∗q

4.2 求L

L 是 p-1 和 q-1的最小公倍数,可用如下表达式表示

 
 L=lcm(p-1,q-1)

其中,[数] lowest common multiple (LCM) 最小公倍数

4.3 求E

E必须满足两个条件:E是一个比1大比L小的数,E和L的最大公约数为1 用gcd(X,Y)来表示X,Y的最大公约数则E条件如下:

1 <  E  <  L

gcd(E,L)=1

abbr. 最大公约数(greatest common divisor);

之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。

4.4 求D

数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系:

1 < D < L

E*D mod L = 1

只要D满足上述2个条件,则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。 简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。 现在私钥自然也已经生成了,密钥对也就自然生成了。

5 实践下吧

我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成,及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。

5.1 求N

我们准备两个很小对质数, p = 17 q = 19 N = p * q = 323

5.2 求L

L = lcm(p-1, q-1)= lcm(16,18) = 144 144为16和18对最小公倍数

5.3 求E

求E必须要满足2个条件:

1 <  E  <  L ,

gcd(E,L)=1

即1 < E < 144,

gcd(E,144) = 1 E和144互为质数,

5显然满足上述2个条件  (实际上 7、11等,也满足以上 2 个条件。) 故E = 5

此时公钥=(E,N)= (5,323)

5.4 求D

求D也必须满足2个条件:

1 < D < L,

E*D mod L = 1

即1 < D < 144,

5 * D mod 144 = 1

显然当D= 29 时满足上述两个条件

1 < 29 < 144

5*29 mod 144 = 145 mod 144 = 1

此时私钥=(D,N)=(29,323)

5.5 加密

准备的明文必须是小于N的数,因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N

假设明文 = 123 则 密文=明文 E modN=123 5 mod323=225

5.6 解密

明文=密文 D modN=225 29 mod323=123  解密后的明文为123。

好了至此RSA的算法原理已经讲解完毕.

参考文档: https://blog.csdn.net/dbs1215/article/details/48953589