题目描述
为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。
输入
输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。
输出
输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。
样例输入
3 10000
样例输出
9
题解
分解质因数+状态压缩dp
对于这种题肯定想到使用状压dp来解决，即设f[v1][v2]表示甲选质数的状态为v1，乙选质数的状态为v2的方案数。
但是这样状态数会爆炸。
考虑：大于$\sqrt{500}$的质数在某数中最多只会出现一次，而小于等于$\sqrt{500}$的质数只有8个。
所以我们只需要记录8个小质数的状态，对于大质数单独处理。
对于每个2~n的数，把它们分解质因数，并记录它们包含小质数的状态和包含的大质数（没有则为0）。
然后把每个数按照大质数的大小排序，这样每个大质数出现的位置是一段连续的区间。
对于每个大质数对应的区间，设$g[i][j]$表示乙不选这个大质数，甲、乙状态分别为i、j的方案数；$h[i][j]$表示甲不选这个大质数，甲、乙状态分别为i、j的方案数。
那么初始$g[i][j]=h[i][j]=f[i][j]$，转移时$g[i|v][j]+=g[i][j]\ \ (v\&j=0)$，h同理。
更新完g和h后更新f为$f[i][j]=g[i][j]+h[i][j]-f[i][j]$，因为两者都不选的情况算了2次。
对于不包含大质数的数，拿出来单独处理即可。
注意一下循环顺序，不要重复更新，必要时可以记录原状态（不包含大质数的数的处理方法中，f数组可能在使用前已经更新，所以这里再使用g数组记录原来的f）
时间复杂度$O(500·2^{16})$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 520
using namespace std;
const int pos[] = {0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 2 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 5 , 0 , 0 , 0 , 6 , 0 , 7};
struct data
{
int val , mp;
bool operator<(const data a)const {return mp > a.mp;}
}a[N];
int f[N][N] , g[N][N] , h[N][N];
int main()
{
int n , p , i , j , k , l , last , t , ans = 0;
scanf("%d%d" , &n , &p);
for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
{
for(j = 2 , t = i ; j * j <= t ; j ++ )
{
if(t % j == 0)
{
a[i - 1].val |= (1 << pos[j]);
while(t % j == 0) t /= j;
}
}
if(t > 1)
{
if(t > 19) a[i - 1].mp = t;
else a[i - 1].val |= (1 << pos[t]);
}
}
sort(a + 1 , a + n);
f[0][0] = 1;
for(i = last = 1 ; i < n ; i = last + 1)
{
if(a[i].mp)
{
while(last < n - 1 && a[last + 1].mp == a[i].mp) last ++ ;
for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
for(k = 0 ; k < 256 ; k ++ )
g[j][k] = h[j][k] = f[j][k];
for(j = i ; j <= last ; j ++ )
for(k = 255 ; ~k ; k -- )
for(l = 255 ; ~l ; l -- )
if(!(k & l) && !(a[j].val & l))
g[k | a[j].val][l] = (g[k | a[j].val][l] + g[k][l]) % p , h[l][k | a[j].val] = (h[l][k | a[j].val] + h[l][k]) % p;
for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
for(k = 0 ; k < 256 ; k ++ )
f[j][k] = ((g[j][k] + h[j][k] - f[j][k]) % p + p) % p;
}
else
{
last = i;
for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
for(k = 0 ; k < 256 ; k ++ )
g[j][k] = f[j][k];
for(j = 255 ; ~j ; j -- )
for(k = 255 ; ~k ; k -- )
if(!(j & k) && !(a[i].val & k))
f[j | a[i].val][k] = (f[j | a[i].val][k] + g[j][k]) % p , f[k][j | a[i].val] = (f[k][j | a[i].val] + g[j][k]) % p;
}
}
for(i = 0 ; i < 256 ; i ++ )
for(j = 0 ; j < 256 ; j ++ )
if(!(i & j) && f[i][j])
ans = (ans + f[i][j]) % p;
printf("%d\n" , ans);
return 0;
}