Stanford机器学习__Lecture notes CS229. Logistic Regression(逻辑回归)(2)Perceptron Learning Algorithm

Stanford机器学习__Lecture notes CS229. Logistic Regression(逻辑回归)(2)

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这里其实我们要说的是感知器算法。
之所以要把感知器算法(Perceptron Learning Algorithm)放在这里，是因为这两个算法在形式上的相似性。

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我们在logistic回归中，考虑到二分类问题，其输出标记y∈(0,1)，而线性回归模型产生的预测值 H(x)=wTx+b 是实值，于是我们需要将实值 H(x) 转化为0/1值。最理想的是“单位阶跃函数”（unit-step function）。最后我们用对数几率函数（Logistic functino）作为 g(.) 替代了“单位阶跃函数”得到了logistic回归函数。

hθ(x)=11+e(wTx)

当我们把对数几率函数（Logistic functino）替换为 sign 函数时，我们就得到了一个二元线性分类器——感知器。

g(z)={10if z≥0if z < 0
此时，另 hθ(x)=g(θTx)
参数更新规则：
θjnew=θjold−α(hθ(x(i))－y(i))x(i)j,
到这里，我们就已经有了完整的感知器学习算法。
我们可以看到，这里的参数更新规则实际上跟logistic随机梯度下降的参数更新规则是一致的。

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细心一点可以看出，其实 θTx=0 在1维空间中代表一个点，在2维空间中代表一条直线，在3维空间中代表一个平面。
以2维空间为例:

对于所有满足 θTx<0 的x，将落在直线一边的区域中(下图中的蓝色).对于所有满足 θTx>0 的x，将落在直线另一边的区域中(下图中的红色).

Perceptron Learning

Perceptron Learning Algorithm的目的是要找到一个perceptron，能把正确地把不同类别的点区分开来。在二维平面上，任何找一条直线都可以用来做perceptron，只不过有些perceptron分类能力比较好(分错的少)，有些perceptron分类能力比较差(分错的多)。

自然，Perceptron Learning Algorithm需要找到一个好的perceptron。
Perceptron Learning要做的是，在“线性可分”的前提下，至少存在一个perceptron，可以做到百分百的正确率，对于任意的 (yi,xi) ，有 hθ(xi)=yi 。
我们把完美的Perceptron记作：
hθ(x)=11+e(wTx)
由一个初始的Perceptron开始，通过不断的learning，不断的调整 hθ(x) 的参数 θ ，使他最终成为一个完美的perceptron。

Perceptron Learning Algorithm (PLA) - “知错就改”的算法

PLA的方法如下：

PLA的 costfunction(x)=−∑错误分类的索引集合iyi(θxi+b)

为了简化我们之后的论证过程，在这里做出小改动：
1.　我们将负样本标记为-1
2.　基于1的改动，我们也需要把g(.)函数替换为：
sign(z)={1−1if z≥0if z < 0
3. 基于以上，我们需要变动参数的更新法则：
极小化cost function的梯度是对w和b求偏导，即：
∇θcostfunction=−∑yixi∇bcostfunction=−∑yi
这样，我们只需要对每个错分类的样本进行下面的更新即可：
θjnew=θjold＋yix(j)i,

For(t=0,1,...) ,t 表示第t次更新——第t次遍历数据集
xi 表示第 i 个样本，循环遍历整个训练集

如果 yi(t)≠sign(θTxi(t)) ，则
θ(t)new=θ(t)old＋yi(t)x(j)i(t),
直到找不到错误点，返回最后一次迭代的 θbest 。

Perceptron Learning Algorithm (PLA)收敛性证明

我们知道在数据线性可分的前提下，我们心目中有个完美的 θbest
，它能够完美的把圈圈和叉叉区分开来。那么如何证明PLA能够使
θ 不断接近 θbest 呢？

这里就要用到夹角余弦的公式，如果令t表示 θ 的更新次数，
θt 更新之后的 θi+1 与 θbest 之间的夹角余弦变大(夹角变小)了，则我们可以认为PLA是有效的。

1. 当数据“线性可分”时， θbest 是必然存在的，所以训练集中任意的 (xi,yi) 都可以被正确分类,可知：

yi(t)θbestxi(t)≥minyiθbestxi>0

２. 下面证明在数据线性可分时，简单的感知机算法会收敛。
初始时 θ0=0 ,每次遇见错误数据才会更新。
yi(t)≠sign(θTxi(t))⟺yi(t)θTxi(t)≤0
t次更新以后：
θbestθt=θbest(θt−1+yixi)≥θbestθt−1+minyiθbestxi≥...≥θbestθ0+tminyiθbestxi=tminyiθbestxi(1)(i)(t)(t+1)

看起来 θt 更接近 θbest 了，但他们内积的增大并不能表示他们夹角的变小。也可能是 |θt| 变大了。
证：
根据上述的性质，我们可以求算 θbest 与 θt 的夹角的余弦值，从 θ0 开始，经过t次错误更正，变成 θt 。
|θt+1|2=|θt+yi(t)xi(t)|2=θ2t+2yi(t)θtxi(t)+|yi(t)xi(t)|2≤θ2t+|yi(t)xi(t)|2≤θ2t+maxi|yixi|2(1)(2)(3)(4)
根据上式可得：
θ2t≤tmaxi|yixi|2
cos(∠)=θbestθt|θbest||θt|≥tminyiθbestxi|θbest||θt|≥tminyiθbestxi|θbest|t√maxi|yixi|=t√minyiθbestxi|θbest|maxi|yixi|=t√*const常数
由于夹角余弦是小于等于1的，我们可以有：

1≥θbestθt|θbest||θt|≥t√*const常数

上面的不等式告诉我们两点:

1. PLA能够帮助 θt 进步，因为 θt 与 θbest 的夹角余弦随着更新错误点的次数 t 的增加而增加， θt 越来越接近 θbest 。
2. PLA会停止(halt)，因为当数据是线性可分时，经过有限次数的迭代，一定能找到一个能够把数据完美区分开的perceptron。

Pocket Algorithm

当数据线性不可分时（存在噪音），简单的PLA 算法显然无法收敛。我们要讨论的是如何得到近似的结果。即寻找 θg 使错误分类的数据尽可能得少。

与简单PLA 的区别：迭代有限次数（提前设定）；随机地寻找分错的数据（而不是循环遍历）；只有当新得到的 θ 比之前得到的最好的 θg 还要好时，才更新 θg （这里的好指的是分出来的错误更少）。
由于计算 θ 后要和之前的 θg 比较错误率来决定是否更新 θg ， 所以pocket algorithm 比简单的PLA 方法要低效。

参考博客：

https://www.douban.com/note/319669984/
http://www.tuicool.com/articles/eeame2