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其它参考资料：http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_gradient_descent
1. 基于梯度下降的学习
对于一个简单的机器学习算法，每一个样本包含了一个(x,y)对，其中一个输入x和一个数值输出y。我们考虑损失函数
,它描述了预测值
和实际值y之间的损失。预测值是我们选择从一函数族F中选择一个以w为参数的函数
的到的预测结果。
我们的目标是寻找这样的函数
,能够在训练集中最小化平均损失函数 ： 
由于我们不知道数据的真实分布，所以我们通常使用 
来代替 
经验风险
用来衡量训练集合的效果。期望风险E(f)描述了泛化(generation)的效果，预测未知样例的能力。
如果函数族F进行足够的限制（sufficiently restrictive ），统计机器学习理论使用经验风险来代替期望风险。
1.1 梯度下降
我们经常使用梯度下降（GD）的方式来最小化期望风险，每一次迭代，基于
更新权重w: 
,
为学习率，如果选择恰当，初始值选择合适，这个算法能够满足线性的收敛。也就是：
,其中
表示残余误差(residual error)。
基于二阶梯度的比较出名的算法是牛顿法，牛顿法可以达到二次函数的收敛。如果代价函数是二次的，矩阵
是确定的，那么这个算法可以一次迭代达到最优值。如果足够平滑的话，
。但是计算需要计算偏导hession矩阵，对于高维，时间和空间消耗都是非常大的，所以通常采用近似的算法，来避免直接计算hession矩阵,比如BFGS，L-BFGS。
1.2 随机梯度下降
SGD是一个重要的简化，每一次迭代中，梯度的估计并不是精确的计算
,而是基于随即选取的一个样例
: 
随机过程
依赖于每次迭代时随即选择的样例，尽管这个简化的过程引入了一些噪音，但是我们希望他的表现能够和GD的方式一样。
随机算法不需要记录哪些样例已经在前面的迭代过程中被访问过，有时候随机梯度下降能够直接优化期望风险，因为样例可能是随机从真正的分布中选取的。
随机梯度算法的收敛性已经在随机近似算法的论文所讨论。收敛性要满足： 
并且
二阶随机梯度下降： 
这种方法并没有减少噪音，也不会对计算
有太大改进。
1.3 随即梯度的一些例子
下面列了一些比较经典的机器学习算法的随机梯度， 