数值计算误差

补充题

在MATLAB上执行>> 5.1-5-0.1和>> 1.5-1-0.5,给出执行结果，并简要分析一下产生现象的原因

代码：

>> x1=5.1-5-0.1
x1 =
-3.608224830031759e-16
>> x2=1.5-1-0.5
x12=
0

原因：
浮点数表示时数字时位数有限，以双精度浮点数为例，共64位。
对于5.1，符号位一位，指数位11，整数部分占3位，小数部分0.1不能精确表示只能近似用49位表示。5.1-5-0.1，5被精确表示，0.1则用52位近似表示。故5.1中的小数部分0.1在计算机中比0.1小，最后结果为负。而x2=1.5-1-0.5中，所有的数都被精确表示了，故其结果为0.

p.153第1题

(1)

（一）程序设计

1.算法

In=−5In−1+1n    (n=1,2,3,...,20)

2.说明事项

1)I₀必须取得精确值，利用 In=∫10xn5+xdx 计算I₀时，会得到ln6-ln5，此处两数相近不宜相减，应换成ln(6/5)
2)计算出I₀后利用循环即可计算出I₂₀

（二）源程序

function [ y ] = test1_1( n )
y=log(1.2);
for i=1:1:n
   y=-5*y+1/i;
end

（三）实验结果

>> test1_1(20)
ans =
    4.242637044921560e-03

(2)

（一）程序设计

1.算法

In−1=−15In+15n    (n=20,19,...,1)

2.说明事项

1)将上一题中的结果去除尾数变为4.0e-03，得到I₂₀粗糙估计值
2)计算出I₂₀后利用循环即可计算出I₀

（二）源程序

function [ y ] = test1_2
y=4.0e-03;
for i=20:-1:1;
    y=y/(-5)+1/(5*i);
end

（三）实验结果

>> test1_2
ans =
    1.823215567939546e-01

与log(1.2)的值相同

(3)结果分析

对于第一个公式
In=−5In−1+1n    (n=1,2,3,...,20)
分析其误差传递
ε(I∗n)=|In−I∗n|=−5|In−1−I∗n−1|=(−5)20ε(I∗0)
20次之后其误差惊人，其结果不可取
对于第二个公式
In−1=−15In+15n    (n=20,19,...,1)
分析其误差传递
ε(I∗n−1)=|In−1−I∗n−1|=−15|In−I∗n|=(−15)20ε(I∗N)
20次之后误差很小