论文假设和单目标模型
这部分想讲一下Semantic Localization Via the Matrix Permanent这篇文章的一些假设。
待求解的问题可以描述为
假设从姿态\(x\)看到的物体（路标点）集合为\(Y(x)={y_1,...,y_n}\)，观测为\(Z={z_1,...,z_m}\)。求后验概率\(p(Z|Y,x)\)。
这里引入数据关联\(\pi\)表示从物体到测量的一个对应关系，其中即包含正确的配对，也包含错误的配对和缺失的配对。
一些假设
作者对目标检测和数据关联做了一些基本的假设。
- 每个测量最多对应着一个物体。
- 每个物体\(y\)要么以概率\(p_d(y,x)\)（通过目标检测算法）得到一个测量，要么以\(1-p_d(y,x)\)的概率没有检测到物体。
- 检测出假阳性（false-positive）的过程（作为一个随机过程）在时间线上符合泊松分布（均值为\(\lambda\)），在空间上符合概率分布\(p_\kappa(z)\)。
- 假阳性过程和目标检测过程是相互独立的，并且所有检测都独立于机器人和物体的状态（state）。
- 每两个测量都独立于\(x,Y\)和数据关联\(\pi\)。
单目标的观测模型
单目标观测的概率模型包含三个部分。
- 检测率模型
- 观测的似然函数
- 误检测率模型
检测率模型
检测率模型度量了在\(x\)处检测到目标\(y\)的概率分布\(p_d(y,x)\)。这里作者假设检测率在FOV中某个点达到最高值，并以指数下降的速率向四周扩散。
\[p_d(y,x)=p_0\exp(-\frac{\left\vert\mu_0-\parallel y-x\parallel\right\vert}{\sigma_0}), \text{ if } y\in\text{FOV}(x)\]
式中的参数可以通过训练模型估计。当然，这个概率可以根据经验自己调整。
观测的似然函数
观测模型是指\(p(z|y,x)\)，即在姿态\(x\)处检测到目标\(y\)时，观测\(z=(class, score, bearing)=(c,s,b)\)的概率分布。根据链式法则，
\[p(z|y,x)=p(s|c,s,b,y,x)p(c|b,y,x)p(b|y,x)=p_s(s|c,y)p_c(c|y)p_b(b|y,x)\]
其中，\(p_c\)是检测模型的confusion matrix，\(p_s\)是检测得分的似然函数，最后一个可以从训练检测模型的过程中得到。
误检测率模型
\(p_{\kappa}(z)\)的分布可通过类似观测的似然函数的方法得到。或者假设为均匀分布。
\[p_{\kappa}(z) = \frac{1}{\parallel S \parallel \cdot \parallel C \parallel \cdot \parallel B \parallel}\]