12/5/2017 3:39:22 PM
前言
Misra-Gries算法是频繁项挖掘中一个著名的算法。频繁项就是那些在数据流中出现频率最高的数据项。频繁项挖掘，这个看似简单的任务却是很多复杂算法的基础，同时也有着广泛的应用。
对于频繁项挖掘而言，一个简单的想法是，为所有的数据项分配计数器，当一个数据项到达，我们即增加相应计数器的值。但当数据流的规模较大时，出于内存的限制，我们往往不可能为每个数据项分配计数器。而Misra-Gries算法则是以一种清奇的思路解决了这个问题，实现了在内存受限的情况下，以较小的错误率统计数据流中的频繁项。
算法作者
Misra-Gries算法在1982年由华威大学的Misra和Gries提出。
频繁项
我们首先对频繁项进行形式化的定义。
给定一系列数据项，频繁项挖掘的目的只是简单地找到那些出现最频繁的数据项。通常我们定义这个问题为找到那些出现频率超过具体阈值的数据项。
定义1. 给定一个数据流\(S\)，它包含\(n\)个数据项\(t\_1,\cdots,t\_n\)，那么一个数据项\(i\)的频数为\(f\_i=|\\{j|t\_j=i\\}|\)。而集合\(\\{i|f\_i>\phi n\\}\)中的元素，我们称为\(\phi-\)频繁项。
例子. 对于数据流\(S=(a,b,a,c,c,a,b,d)\)，有\(f\_a=3,f\_b=2,f\_c=2,f\_d=1\)。如果设\(\phi=0.2\)，那么频繁项有\(a,b\)和\(c\)。
Misra-Gries算法
即使\(\phi\)的值很大，解决这个问题的算法也至少要花费\(O(n)\)的空间。在这种情况下，一个错误率为\(\epsilon\)的近似算法被提出。这就是我们的Misra-Gries算法。它的具体步骤如下：
首先建立一个大小为\(k\)的数组\(T\)。
对于数据流中依次到达的项\(i\)进行如下处理：如果项\(i\)在数组\(T\)中，则其对应的计数器\(c_i++\)；如果项\(i\)不在数组\(T\)中，且数组\(T\)中的元素个数小于\(k-1\)，则将项\(i\)加入数组\(T\)，并为其分配计数器\(c_i=1\)；其他情况，将数组\(T\)中所有元素的计数器减1，此时如果数组\(T\)中存在元素的计数器值为0，则从数组\(T\)移除这个元素。
当完成对数据流的扫描后，数据\(T\)中保存的\(k’(k’≤k-1)\)个元素即是数据流中的频繁项。
Python实现
下面使用python3进行实现，其中数组\(T\)和计数器\(c_i\)使用字典实现。
def misra_gries(S,k):
for i in S:
if i in c:
c[i]+=1
elif len(c)<k-1:
c[i]=1
else:
for j in list(c):
c[j]-=1
if c[j]==0:
c.pop(j)
print (c)
return list(c)
假设\(k=3,S=[1,2,1,4,2,1,5,2]\)，那么程序的输出结果如下
{1: 1}
{1: 1, 2: 1}
{1: 2, 2: 1}
{1: 1}
{1: 1, 2: 1}
{1: 2, 2: 1}
{1: 1}
{1: 1, 2: 1}
[1, 2]
[Finished in 0.2s]
正确性证明
上面说到了这个算法是一个近似算法，这表明算法输出的结果并不一定是频繁项。Misra-Gries算法的错误率为\(\epsilon\)。
定义2. 给定一个包含\(n\)个数据项的数据流\(S\)，上述的\(\epsilon-\)近似算法返回一个集合\(F\)。对于所有满足\(i\in F\)数据项\(i\)，都有\(f\_i>(\phi-\epsilon)n\)；并且不存在\(i \notin F\)的数据项\(i\)，使得\(f\_i>\phi n\)。
上面的定义表明，Misra-Gries算法输出的数据项并不一定是频繁项，但是频繁项一定在输出结果之中。后一句便是问题的关键了，它表明Misra-Gries算法可以确保找到数据流中的频繁项。下面我们对这一点进行简要的证明。
定理1. 计数器减一的操作最多执行了\(n/k\)轮。
证明：当数组\(T\)中元素的个数等于\(k-1\)时，才会出现计数器减一的操作。此时，计数器值共减少\(k-1\)，包括被舍弃的新数据项，计数器值之和共比实际到达的数据项的个数少\(k\)。由于最后的计数器值之和是大于\(0\)的，且数据流中数据项的个数为\(n\)，所以计数器减一的操作最多执行了\(n/k\)轮。
定理2. 当\(k=\left\lceil\frac{1}{\phi}\right\rceil\)，所有的\(\phi-\)频繁项都会被Misra-Gries算法检测出。
证明：由定理1可知，计数器减一的操作最多执行了\(n/k\)轮。因此，算法结束时，数据项\(i\)计数器的值\(c_i\)，满足\(c_i\leq f_i\leq c_i+n/k\)。对于所有不在数组\(T\)中的数据项\(i\)，有\(c_i=0\)，于是\(f_i\leq n/k\leq \phi n\)。故所有满足\(f_j>\phi n\)的数据项\(j\)，即所有的\(\phi-\)频繁项都会被Misra-Gries算法检测出。
参考
[1] Cormode G. Misra-Gries Summaries[M]. Springer US, 2014.
http://dimacs.rutgers.edu/~graham/pubs/papers/encalgs-mg.pdf。