洛谷题目连接:刷题比赛
题目背景
nodgd是一个喜欢写程序的同学，前不久洛谷OJ横空出世，nodgd同学当然第一时间来到洛谷OJ刷题。于是发生了一系列有趣的事情，他就打算用这些事情来出题恶心大家……
题目描述
洛谷OJ当然算是好地方，nodgd同学打算和朋友分享一下。于是他就拉上了他的朋友Ciocio和Nicole两位同学一起刷题。喜欢比赛的他们当然不放过这样一次刷题比赛的机会！
在第1天nodgd,Ciocio,Nicole都只做了1道题。
在第2天nodgd,Ciocio,Nicole都只做了3道题。
他们都有着严格的刷题规则，并且会在每一天都很遵守规则的刷一定量的题。
(1)nodgd同学第k+2天刷题数量a[k+2]=p * a[k+1]+q * a[k]+b[k+1]+c[k+1]+r * k^2+t * k+1;
(2)Ciocio同学第k+2天刷题数量b[k+2]=u * b[k+1]+v * b[k]+a[k+1]+c[k+1]+w^k;
(3)Nicole同学第k+2天刷题数量c[k+2]=x * c[k+1]+y * c[k]+a[k+1]+b[k+1]+z^k+k+2;
（以上的字母p,q,r,t,u,v,w,x,y,z都是给定的常数，并保证是正整数）
于是他们开始了长时间的刷题比赛！一共进行了N天(4<=N<=10^16)
但是时间是可贵的，nodgd想快速知道第N天每个人的刷题数量。不过nodgd同学还有大量的数学竞赛题、物理竞赛题、英语竞赛题、美术竞赛题、体育竞赛题……要做，就拜托你来帮他算算了。
由于结果很大，输出结果mod K的值即可。
输入输出格式
输入格式：
第一行两个正整数N,K。(4<=N<=10^ 16，2<=K<=10^16)
第二行四个正整数p,q,r,t。
第三行三个正整数u,v,w。
第四行三个正整数x,y,z。
(保证p,q,r,t,u,v,w,x,y,z都是不超过100的正整数)
输出格式：
共三行，每行一个名字+一个空格+一个整数。依次是nodgd,Ciocio,Nicole和他们在第N天刷题数量mod K的值。
输入输出样例
输入样例#1：
4 10007
2 1 1 1
2 2 3
1 1 2
输出样例#1：
nodgd 74
Ciocio 80
Nicole 59
说明
矩阵乘法。
注意，中间相乘过程可能会比64位长整型的数据范围还要大。
题意: 给你三个递推式,要你递推出三个递推式的第\(n\)项.
题解: 今天考试考这题结果考试的时候脑子抽了,没调出来.
首先这题线性递推,是一个矩阵转移是肯定没问题的.
那么我们考虑如何构造这个矩阵.
当时我想的是将所有转移需要用到的量都放到矩阵中转移(就是常量和那些变量),然后构出来一个矩阵有30*30多的大小,填矩阵填到心态炸裂.
但其实是没必要填这么多元素进去的.
一般构造矩阵的方法就是将所有变量存入答案矩阵中.
但是只有这样还不够,为了递推答案矩阵,我们还需要将递推答案矩阵所需要的变量都放进矩阵中转移.
我们发现转移中有\(r*i^2, w ^i,z ^i\),那么我们在转移的同时也要转移这些变量.
为了能转移\(i^2\),同时我们需要将\(i,1\)也放进矩阵中.因为\((i+1)^2=i ^2+2*i+1\)
既然这样,我们可以构造答案矩阵:
\begin{matrix}
a_{i-2},a_{i-1},b_{i-2},b_{i-1},c_{i-2},c_{i-1},(i-2)^2,(i-2),1,w^{i-2},z^{i-2}
\end{matrix}
\right)\]
那么转移矩阵就可以直接通过答案矩阵来算了,如果不懂的话可以思考一下矩阵乘法的方法.
下面是转移矩阵:
\begin{matrix}
0 & q & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & p & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & v & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & u & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & y & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & t & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & z \\
\end{matrix}
\right)\]
然后矩阵乘法的部分就套一下板子就可以啦.
还有一点,中间结果可能会爆long long.
那么对于两个long long相乘再mod int可以用慢速乘来实现.
其实慢速乘的原理和快速幂是一样的,也就是将一次乘法转化乘log次加法,因为加法不会爆long long,所以能够保证最终结果不会爆long long.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int _int;
#define int long long
const int N = 100000+5;
int n, yyj, p, q, r, t, u, v, w, x, y, z;
int a[N], b[N], c[N];
int mul(int x, int y){
int res = 0;
for(; y; y >>= 1, (x += x) %= yyj)
if(y & 1) res += x;
return res;
}
struct matrix{
int a[25][25];
matrix operator * (matrix x){
matrix res; memset(res.a, 0, sizeof(res.a));
for(int i = 1; i <= 11; i++)
for(int j = 1; j <= 11; j++)
for(int k = 1; k <= 11; k++)
(res.a[i][j] += mul(a[i][k], x.a[k][j])) %= yyj;
return res;
}
}ans, tmp;
void init(){
memset(tmp.a, 0, sizeof(tmp.a));
memset(ans.a, 0, sizeof(ans.a));
tmp = (matrix){
{
{}, // 0
{ 0, 0, q, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 }, // 1
{ 0, 1, p, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 }, // 2
{ 0, 0, 0, 0, v, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 }, // 3
{ 0, 0, 1, 1, u, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 }, // 4
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, y, 0, 0, 0, 0, 0 }, // 5
{ 0, 0, 1, 0, 1, 1, x, 0, 0, 0, 0, 0 }, // 6
{ 0, 0, r, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 }, // 7
{ 0, 0, t, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0 }, // 8
{ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0 }, // 9
{ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, w, 0 }, // 10
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, z }, // 11
}
};
ans = (matrix){
{
{},
{ 0, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, w, z },
}
};
}
void quick_pow(int n){
for(; n; n >>= 1, tmp = tmp*tmp)
if(n & 1) ans = ans*tmp;
}
_int main(){
freopen("shuati.in", "r", stdin);
freopen("shuati.out", "w", stdout);
cin >> n >> yyj >> p >> q >> r >> t >> u >> v >> w >> x >> y >> z;
if(n == 1) cout << "nodgd 1\nCiocio 1\nNicole 1" << endl, exit(0);
if(n == 2) cout << "nodgd 3\nCiocio 3\nNicole 3" << endl, exit(0);
init(), quick_pow(n-2);
printf("nodgd %lld\nCiocio %lld\nNicole %lld\n", ans.a[1][2], ans.a[1][4], ans.a[1][6]);
return 0;
}