1、前言
a、对于工程问题，一般描述为：从一些测量值（观测量）x 中估计参数 p？即x = f(p)，
其中，x为测量值构成的向量，参数p为待求量，为了让模型能适应一般场景，这里p也为向量。
这是一个函数求解问题，可以使用Guass-Newton法进行求解，LM算法是对Newton法的改进。
c、如果函数f为线性函数，那这个问题就变成了最小二乘问题（请参阅我另一篇博客：最小二乘法），
d、这篇博客中讲解的LM法、Newton法主要用于函数f为非线性函数的情况。
2、x = f(p)问题的Newton法求解
当迭代到第k次的时候得到参数
，其中
为残差：
对f(p)进行一阶泰勒公式展开,J为Jacobi(雅可比)矩阵，因为参数p是个向量，因此对p的求导即对p逐个元素求偏导：
计算第k+1次的残差：
通过第k次到第k+1次的迭代，
可以发现已经把非线性问题
转化为线性求解
，则最小二乘解为：
则k+1次的参数p为：
3、加权Newton迭代
在Newton法中，所有的因变量都是等量加权的，除此之外，可以使用一个加权的矩阵对因变量进行加权。
例如，当测量矢量 x 满足一个协方差矩阵为
的高斯分布，且希望最小化Mahalanobis距离
。
当这个协方差矩阵可以是对角的，则表示 x 各坐标之间相互独立。
当协方差矩阵为正定对称矩阵时，正规变为：
备注：马氏距离
通过协方差反向传播，一阶近似下的协方差可以这么计算：
如果不可逆，那这个取逆过程为广义逆。
4、Levenberg-Marquardt迭代（LM算法）
LM算法是对Newton迭代的改进。
（4）式的正规方程可以简化写成：
LM算法将上式改为：
，其中
，即N的对角线元素乘以
，非对角线元素不变
的设定策略为：在初始化时，
。
如果通过解增量正规方程得到的
导致误差减小，那么接受该增量并在下一次迭代前将
反之，如果
对不同的
LM算法的直观解释：当
当
的非对角线元素相对于对角元素而言变得不重要，此时算法倾向于下降法。
LM算法在Newton迭代和下降方法之间无缝地移动，Newton法将使得算法在解的领域附近快速收敛，下降法使得算法在
运行困难时保证代价函数是下降的。
5、Newton法（LM法）两个适用场景的转换
a、在上一篇博客Newton法（牛顿法 Newton Method）中讲述了牛顿法适用的两个场景：1、函数求解；2、目标函数的最优化求解
上一篇博客中的f(x)相当于这篇博客中的 x –f(p)，上一篇博客中是为了求x，这篇博客中是已知x，求p，只是表述不同。
b、这两个场景有时候是可以相互转换的：
例如：函数求解问题 f(x) = 0，那也可以认为是求解 min||f（x)||，其中||.||表示二范数，即
例如：目标函数优化问题 min ||f(x)||，当这个优化问题的理论最优解就是为 0 时，那么这个问题也可以转化为求解 f(x) = 0
