SPOJ-OPTM Optimal Marks ★★(按位建图 && 最小割)

时间：2022-09-02 15:39:45

【题意】给出一个无向图，每个点有一个标号mark[i]，不同点可能有相同的标号。对于一条边(u, v)，它的权值定义为mark[u] xor mark[v]。现在一些点的标号已定，请决定剩下点的标号，使得总的边权和最小。（0 < N <= 500, 0 <= M <= 3000, 0 <= mark[i] <= 2^31-1）

胡伯涛神牛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》中的例题。非常好的一道题！非常推荐！

【思路】

我们把问题数学化就是：  Minimum  sigma(we) = sigma(u, v)∈E ( mark(u) xor mark(v) )

对于异或问题，我们发现这样的二进制按位运算各个二进制位之间是互不影响的，所以我们可以一位一位的做这类题。

那么我们的式子又可以进一步转化为：

Minimum  sigma(u, v)∈E { sigmai=0~oo(2^i) • sigma(mark(u, i) xor mark(v, i)) }

这样我们就把mark的限制加强了：只可能是0或1。即这些点将分成两类。

再观察我们发现，xor运算，只有当u、v不同时结果才为1，即这样的有效边的两端点一定属于不同点集。这像什么？不就是割边嘛！~而题目正好又是要求最小，这样问题便转化为最小割了~    （要注意培养这种问题转化和模型发现的能力！）

那么具体的最小割网络GN模型：建一个源点，向每一个标号为1的点连一条oo流量的边（后面解释为什么源点连标号1的点）；建一个汇点，向每一个标号为0的点连一条oo流量的边；原图中的边容量设为1加入到GN中。求出来的最小割便是该二进制位下的标号xor的和最小的情况。

然而题目还要求输出所有点的标号，并且需要标号的和也最小。那么怎么保证标号的和最小呢？无非就是尽可能的取0。那么又该怎么做？

首先先看怎么给那些未标号的点标号：容易想到最小割把网络分成了两个点集，那么显然每个点标号应该和它所在点集已标号的点一致，所以当然希望标号为0的点集点更多一些。然后注意我们划分点集是从源点开始dfs，那么这样划出来的最小割边集显然更偏向源点，即这样划分出来的S集点是最少的。于是源点当然连标号为1的点呐~

【代码】

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define MID(x,y) ((x+y)/2)

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

using namespace std;

const int MAXV = 505;

const int MAXE = 10005;

const int oo = 0x3fffffff;

/* Dinic-2.0-2013.07.21: adds template.  double & int 转换方便多了，也不易出错 ~*/

template

struct Dinic{

    struct node{

        int u, v;

        T flow;

        int opp;

        int next;

    }arc[2*MAXE];

    int vn, en, head[MAXV];

    int cur[MAXV];

    int q[MAXV];

    int path[2*MAXE], top;

    int dep[MAXV];

    void init(int n){

        vn = n;

        en = 0;

        mem(head, -1);

    }

    void insert_flow(int u, int v, T flow){

        arc[en].u = u;

        arc[en].v = v;

        arc[en].flow = flow;

        arc[en].next = head[u];

        head[u] = en ++;


arc[en].u = v;

        arc[en].v = u;

        arc[en].flow = 0;

        arc[en].next = head[v];

        head[v] = en ++;

    }

    bool bfs(int s, int t){

        mem(dep, -1);

        int lq = 0, rq = 1;

        dep[s] = 0;

        q[lq] = s;

        while(lq  0){

                    dep[v] = dep[u] + 1;

                    q[rq ++] = v;

                }

            }

        }

        return false;

    }

    T solve(int s, int t){

        T maxflow = 0;

        while(bfs(s, t)){

            int i, j;

            for (i = 1; i  arc[path[k]].flow){

                            minflow = arc[path[k]].flow;

                            mink = k;

                        }

                    for (int k = 0; k  dinic;

int mark[MAXV];

bool if_mark[MAXV];

struct path{

    int u, v;

}p[MAXE];

bool vis[MAXV];

int st[MAXV];   //ST集

void dfs(int u){

    vis[u] = 1;

    st[u] = 1;

    for (int i = dinic.head[u]; i != -1; i = dinic.arc[i].next){

        if (dinic.arc[i].flow

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