EXGCD 扩展欧几里得

时间:2021-05-26 15:32:47

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扩展欧几里得,就是求出来ax+by=gcd(x,y)的x,y

为什么有解?

根据裴蜀定理,存在u,v使得au+bv=gcd(x,y)

证明:

EXGCD 扩展欧几里得

这里面,c,e,就是所谓的u,v

对于ax+by=gcd(a,b)

因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

ax+by=gcd(a,b)

bx1+(a%b)y1=gcd(b,a%b)

可以变成:ax+by=bx1+(a%b)y1

就是:ax+by=bx1+(a-[a/b]*b)y1

所以:ax+by=ay1+b(x1-[a/b]*y1)

所以,如果求出来y1,x1,就可以对应的求出来x,y

x=y1,y=(x1-[a/b]*y1)

不停地递归下去。

边界:

b==0 时,ax+by=gcd(a,b)

这时候,b是0,a就是gcd(a,b),所以x=1,y随便一个值,都是一个特解。

一般让y=0 (让|x|+|y|最小 -----------Monster_Yi)

(让|x+y|最小————SD_le)

(反正我也不知道是哪一个)

实测y等于几都可以,但是0小,一般不会爆int,爆掉的几率比较小。

递归返回去,上一步的x,y根据下一步的x,y赋值就好

代码:

void exgcd(int a,int b)
{
if(b==)
{
x=;
y=;
return;
}
exgcd(b,a%b);
k=x;
x=y;
y=k-a/b*y;
return;
}

这个没有传引用,直接交换的。x,y都是全局变量。便于理解。

但是代码太丑了。

传引用:

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==){
x=,y=;return;
}
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}

这里的代码是上一个版本的简略版,

传入下一步的时候,x,y传入的时候就交换了,相当于x=y1,y=x1

回溯之后的,y-=(a/b)*x, 因为这个时候的x就是 y1 , y已经赋值为x1,所以直接减就可以

当然,这里最后需要的x,y就直接传进去了。

应用:

1.求ax=1(mod b)  b不一定是质数。也就是求一般情况下的a的逆元(noip2012 同余方程)

2.ax+by=gcd(a,b) 可以将gcd(a,b)除下去,变成:a0x+b0y=1 同上

3.ax+by=c无整数解情况:gcd(a,b)不能整除c(左边可以提出来gcd,右边不行)

4.对于ax+by=c 的一般方程,先判断有没有解,再求出ax+by=gcd(a,b) 最后 x,y 乘上 c/gcd(a,b)

5.ax-by=c ,算出来ax+by=c , y再取相反数即可。