【扩展欧几里得】NOIP2012同余方程

时间:2021-11-02 15:33:39

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式:

输入只有一行,包含两个正整数 a, b,用一个空格隔开。

输出格式:

输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入样例#1: 复制
3 10
输出样例#1: 复制
7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据,2 ≤b≤ 1,000;

对于 60%的数据,2 ≤b≤ 50,000,000;

对于 100%的数据,2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

题解

顺便把欧几里得算法也写上了

证明:

其实欧几里得算法就是辗转相除法。。。

扩展欧几里得就是

对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然
 
存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
 
求解 x,y的方法的理解
 
设 a>b。
 
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
 
2,a>b>0 时
 
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
 
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
 
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
 
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
 
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
 
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
 
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
 
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
 
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

代码

//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define maxn
using namespace std; ll n,m; ll gcd(ll x,ll y)
{
return y?gcd(y,x%y):x;
} ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll&y)
{
if(b==){
x=,y=;
return a;
}
ll q=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return q;
} int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
ll z=gcd(n,m);
n/=z,m/=z;
ll x,y;
ll asd=exgcd(n,m,x,y);
printf("%lld",(x+m)%m);
}