矩阵快速幂是基于普通的快速幂的一种扩展，如果不知道的快速幂的请参见http://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/4097277.html。二进制这个东西太神奇了，好多优秀的算法都跟他有关系，这里所说的矩阵快速幂就是把原来普通快速幂的数换成了矩阵而已，只不过重载了一下运算符*就可以了，也就是矩阵的乘法， 当然也可以写成函数，标题中的这三个题都是关于矩阵快速幂的基础题。拿来练习练习熟悉矩阵快速幂，然后再做比较难点的，其实矩阵快速幂比较难的是构造矩阵。下面还是那题目直接说话：
hdu1575：
题目大意：求一个矩阵k此方之后主对角线上的元素之和对9973取模
这个题是矩阵快速幂的裸题，直接用就行了。下面是代码
#include<iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm> using namespace std;
const int N = ;
const int mod = ;
struct Matrix{
int a[N][N];
};
int n;
Matrix operator * (Matrix t1, Matrix t2)//重载运算符 *
{
Matrix c;
memset(c.a, , sizeof(c.a));
//矩阵乘法
for (int k = ; k < n; k++)
{
for (int i = ; i < n; i++)
{
if (t1.a[i][k] <= )
continue;
for (int j = ; j < n; j++)
{
if (t2.a[k][j] <= )
continue;
c.a[i][j] = (c.a[i][j] + t1.a[i][k] * t2.a[k][j]) % mod;
}
}
}
return c;
}
//重载^运算符
Matrix operator ^ (Matrix t, int k)
{
Matrix c;
memset(c.a, , sizeof(c.a));
//初始化矩阵c为单位阵
for (int i = ; i < n; i++)
{
c.a[i][i] = ;
}
//这里用到快速幂
for (; k; k >>= )
{
if (k & )
c = c * t;
t = t * t;
}
return c;
}
int main()
{
int T, k;
cin >> T;
while (T--)
{
cin >> n >> k;
Matrix t1, t2;
for (int i = ; i < n; i++)
{
for (int j = ; j < n; j++)
cin >> t1.a[i][j];
}
t2 = t1 ^ k;
int res = ;
for (int i = ; i < n; i++)
res = (res + t2.a[i][i]) % mod;
cout << res << endl;
} return ;
}
hdu1005：
题目大意：
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.
给你A， B和n让你求f(n)是多少
这个题就需要稍微构造一下矩阵了
这样的话要求F(n)的话，只需要对求出来F(n-1)就行了，对应的F(n-1)要求出F(n-2)，所以题目给了F(1)和F(2)，所以乘以他前面的系数矩阵就为【F(3), F(2)】T,再接着成系数矩阵就为【F(4)，F(3)】T所以要求F(n)只需要对系数矩阵进行n-2次幂就行了，然后最后要求的结果就是矩阵的第一行第一列的结果，代码如下
#include<iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm> using namespace std;
const int N = ;
const int mod = ;
struct Matrix
{
int mat[N][N];
};
//矩阵乘法(函数的形式)
Matrix Multi(Matrix a, Matrix b)
{
Matrix c;
memset(c.mat, , sizeof(c.mat));
for (int i = ; i < N; i++)
{
for (int j = ; j < N; j++)
{
for (int k = ; k < N; k++)
c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
}
}
return c;
}
//矩阵快速幂 （函数形式）
Matrix quickMatrixPower(Matrix a, int k)
{
Matrix t;
memset(t.mat, , sizeof(t.mat));
for (int i = ; i < N; i++)
t.mat[i][i] = ;
//快速幂
while (k)
{
if (k & )
t = Multi(t, a);
a = Multi(a, a);
k >>= ;
}
return t;
} int main()
{
long long a, b, n;
while (cin >> a >> b >> n && (a + b + n))
{
Matrix t;
//初始化系数矩阵
t.mat[][] = a;
t.mat[][] = b;
t.mat[][] = ;
t.mat[][] = ;
if (n >= )
{
t = quickMatrixPower(t, n - );
printf("%d\n", (t.mat[][] + t.mat[][]) % mod);
}
else
{
printf("%lld\n", n);
}
} return ;
}
hdu1757
题目大意：
If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);
And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 .
Now, I will give a0 ~ a9 and two positive integers k and m ,and could you help Lele to caculate f(k)%m.
这个关键还是在于构造矩阵，因为给递推式了，所以矩阵还是比价好构造的，下图是构造的矩阵
推到过程类似于1005，不再赘述，代码如下：
#include<iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm> using namespace std;
const int ori[][] = {, , , , , , , , , };
struct Matrix
{
int str[][];
};
int m;
//矩阵乘法
Matrix operator * (Matrix a, Matrix b)
{
Matrix c;
memset(c.str, , sizeof(c.str));
for (int i = ; i < ; i++)
{
for (int j = ; j < ; j++)
{
for (int k = ; k < ; k++)
c.str[i][j] = (c.str[i][j] + a.str[i][k] * b.str[k][j]) % m;
}
}
return c;
}
//矩阵快速幂
Matrix power (Matrix a, int k)
{
Matrix c;
memset(c.str, , sizeof(c.str));
for (int i = ; i < ; i++)
c.str[i][i] = ;
while (k)
{
if (k & )
c = c * a;
a = a * a;
k >>= ;
}
return c;
}
//最后一步的矩阵乘法
int Multi(Matrix a)
{
Matrix c;
memset(c.str, , sizeof(c.str));
for (int i = ; i < ; i++)
{
for (int j = ; j < ; j++)
{
for (int k = ; k < ; k++)
{
c.str[i][j] = (c.str[i][j] + ori[i][k] * a.str[k][j]) % m;
}
}
}
return c.str[][] % m;
}
int main()
{
int k;
while (cin >> k >> m)
{
Matrix t;
memset(t.str, , sizeof(t.str));
for (int i = ; i < ; i++)
{
cin >> t.str[i][];
for (int j = ; j < ; j++)
if (i + == j)
t.str[i][j] = ;
}
if (k >= )
{
t = power(t, k - );
printf("%d\n", Multi(t));
}
else
{
printf("%d\n", k);
}
} return ;
}