推荐系统排序（Rank）评价指标总结

1.Mean Average Precision (MAP)

AP=∑nij=1P(j).yi,j∑nij=1yi,j
其中，
yi,j :排序中第j个元素对于查询i是否是相关的；相关为1，不相关为0。
P(j)=∑k:πi(k)≤πi(j)y(i,k)πi(j)
其中，
πi(j) 为j的排序位置。

例如，
rank_no    是否相关
1        1
2        0
3        1
4        0
5        1
6        0
则根据AP计算公式：
AP = (1*1 + (1/2) *0+ (2/3)*1 + (2/4)*0 + (3/5)*0 + (3/6)*0) /3 = …

举例，第一项，P(1) = 它前面的项（包括自己）相关的个数除所在排序的位置（也就是1）。第一位及前面（前面没有）相关的个数就是它本身，所以P()的分子就是1，分母也是1.所以取值为1。同时y值为1.最终的对应AP中的项就是1
其他以此类推。
AP的最大值为1（也就是当相关的全部排在不相关的前面的时候）
MAP就是对所有query的AP求平均。

2.Mean Reciprocal Rank (MRR)

其中|Q|是查询个数，ranki是第i个查询，第一个相关的结果所在的排列位置。
举例：

对于三个查询，每个查询的ranki分别为3、2、1。所以，
MRR=1/3∗(1/3+1/2+1/1)
(参考自Wikipedia)

3.NDCG

首先是DCG的定义：

其中，
reli 为排在第i个位置的物品实际的评价分值（也就是和查询相关的程度)
举例：

所以：

理想的DCG,也就是排序是最理想的情况（3，3，2，2，1，0）：

最终的NDCG为：

(参考自Wikipedia)
以上是信息检索中常用的nDCG指标。考虑推荐中(二值评分–0，1）的情况。参考文献【1】中，给出了更适合的描述（实际定义都是一样。只是上面描述时，评分是连续的分值；而【1】中的描述考虑的是[0,1]分值）：

4.Kendall tau distance

也就是两个排序间，评价存在分歧的对的数量。具体定义如下：

其中， τ1(i) 和 τ2(i) 分别为元素i在两个排序中的序位
如果两个排序完全一样。则Kendall tau distance位0。否则，如果两个排序完全相反，则为 n(n−1)/2 。
通常 Kendall tau distance都会通过除以 n(n−1)/2 来归一化。

举例：

从中可以看出有4个元素对在两个排序中存在分歧。所以归一化后的Kendall tau distance为：

(参考自Wikipedia)
此外，参考文献【1】中也有这个指标的介绍。略有不同，下面直接截取供大家参考：

5、Spearman’s ρ （斯皮尔曼的ρ） [1]
基本思想类似Kendall tau distance：比较两个排序（通常一个是理想排序）的（排序值的）皮尔逊相关系数。
比如在推荐中，一个推荐排序列表采用物品实际的评分值（用户实际的偏好程度） 排序。一个是你的模型对物品的实际排序。 s∗i,j 表示你模型预测中，物品j在用户i的推荐列表上的排序位置； y∗i,j 表示按实际用户i对物品的评分来排序时物品j在i的推荐列表上的排序位置。 s¯∗ 表示 s∗i,j 的平均值； y¯∗ 表示 y∗i,j 的平均值.。则：

其中 Ωtest 为测试集

更多参考文献：
【1】 Statistical Methods for Recommender Systems