第十五个知识点:RSA-OAEP和ECIES的密钥生成,加密和解密

时间：2022-06-11 10:48:14

第十五个知识点:RSA-OAEP和ECIES的密钥生成,加密和解密

1.RSA-OAEP

RSA-OAEP是RSA加密方案和OAEP填充方案的同时使用.现实世界中它们同时使用.(这里介绍的只是"textbook rsa-oaep")

1.1 RSA[1]

RSA是一种最早的公钥加密场景.它基于RSA问题的困难性(之前的博客说过).这里重新复习一下RSA的原理.

密钥生成:

  • 生成两个大素数\(p,q\)同时计算模数\(N=pq\).
  • 选择一个随机的数\(e \in Z_N .\)S.T.\(gcd( \phi(N),e)=1\),其中\(gcd\)是最大公约数.
  • 因为\(\phi(N)\)和\(e\)是互质的\((gcd( \phi (N),e=1)\).我们能用XGCD寻找e的乘法逆元d,\(\phi (N):d=e^{-1} mod \space \phi(N)\).
  • 我们把(N,e)当做公钥,同时把(p,q,d)当做私钥.

加密:

  • 把信息解释成一个整数\(m \in Z_N\).
  • 计算\(c=m^e \space mod \space N\).
  • 输出c作为密文

解密

  • 在计算密文之前,我们先计算几个固定的值,\(d \mod p-1,q^{-1} \mod p,d \mod q-1,p^{-1} \mod q\).
  • 然后计算\(m = ((c^{d \mod p-1})q(q^{-1} \mod p)+(c^{d \mod q-1} \mod q)p(p^{-1} \mod q))\)
  • 输出m

注意这里用了CRT的方法计算m.使用CRT可以提升计算性能.

1.2 OAEP[2]

OAEP全称为Optimal Asymmetric Encryption Padding.这是一种非对称加密填充场景.它给确定性的算法带来了随机性.当使用RSA的时候,结合的场景被证明是IND-CCA安全的(实际上并不是,可以找本书好好看看OAEP,OAEP+,SSL,TLS,它们之间的攻击防御还是挺有意思的,这里描述的只是一个简化的方案).

让

  • \(f\)是k-bit单向函数,\(f:\{0,1\}^k \rightarrow \{0,1\}^k\)
  • m是n-bit消息
  • \(G,H\)是两个伪随机函数:\(G:\{0,1\}^s \rightarrow \{0,1\}^{n+t}\)同时\(H:\{0,1\}^{n+t} \rightarrow \{0,1\}^s\),其中\(k = n+t+s\)
  • \(R\)是s-bit的随机数\(R \leftarrow \{0,1\}^s\)

加密:

我们计算k-bit密文用下面的方式:

\[Encrypt(m) = f_{pk}(\{(m||0^t) \oplus G(R) \}||\{R \oplus H((m||0^t) \oplus G(R))\})
\]

解密:

使用单向函数,我们能恢复这个值

\[f_{sk}(c) = \{(m||0^t) \oplus G(R) \}||\{R \oplus H((m||0^t) \oplus G(R))\}
\]

然后通过计算我们就能恢复m的值.实际计算中,我们替换\(f_{sk},f_{pk}\)变成RSA中的加密函数.

2.ECIES(读Dan Bonech的书啊,说的太明白了)

Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme 是ElGamal公钥加密系统在椭圆曲线密码学中的应用.

简单来说,我们用下面的范式来定义椭圆曲线:

\(E:y^2=x^3+ax+b\)

为了简化问题,我们仅仅讨论曲线\(E\)在素数域\(F_q\)中,使用一个基点\(P\),有一个素数阶\(n\).然后我们定义建一个佳话的域参数:\(D=(q,a,b,P,n)\),其中

  • \(q\)是一个素数域的阶.比如\(q\)是一个素数,\(x,y,a,b\)在{0,1,2,...,q-1}
  • a,b是椭圆曲线的系数
  • \(P\)是曲线上一个点
  • \(n\)是\(P\)的素数阶.例如,\(P\)的加法能在曲线上定义\(n\)个点,其中\(n\)是一个素数.

这些域参数都是公开的.

ECIES总是使用一个对称加密场景和一个MAC(消息认证码)场景.我们定义他们为{\(Enc_k(m)=c,Dec_k(c)=m\)}同时{\(MAC_k(m) = t,Very(t,m)=T/F\)}

我们定义\(KDF(s_1,s_2)=(k_{enc},k_{MAC})\).为`Key Derivation 有两个种子\(s_1,s_2\).输出一对加密密钥和MAC密钥.

然后我们描述这个场景:

密钥生成

  • 选择一个随机整数\(d \in [1,n-1]\)
  • 选择一个新的点\(Q=dP\)
  • 输出Q作为公钥,d是私钥

加密

  • 选择一个随机整数\(k \in [1,n-1]\)
  • 计算\(R=kP,Z=kQ\).如果\(Z=\infty\),那么我们重新选择一个k
  • 生成\((k_1,k_2)=KDF(x_Z,R)\).其中\(x_Z\)是\(Z\)的x坐标.
  • 计算\(c=Enc_{K_1}(M)\),\(t=MAC_{k_2}(c)\)
  • 输出\((R,c,t)\)作为密文

解密

  • 反向看之即可

因为\(z^{'}=dR=dkP=kQ=Z\).因此KDF()的种子事实上是相同的.因此，接收方可以生成与发送方相同的密钥并解密消息。然而，我对ECC的了解非常有限。对于那些感兴趣的人，你可以在[4]中找到更多。

References:

[1] http://people.csail.mit.edu/rivest/Rsapaper.pdf

[2] http://tools.ietf.org/html/rfc2437

[3] http://www.shoup.net/papers/iso-2_1.pdf

[4] http://www.springer.com/computer/security+and+cryptology/book/978-0-387-95273-4

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