题意:
给你一个由n个点构成的多边形城堡(看成二维),按顺序给你n个点,相邻两个点相连。
让你围着这个多边形城堡建一个围墙,城堡任意一点到围墙的距离要求大于等于L,让你求这个围墙的最小周长(看成二维平面)(结果四舍五入
分析:
凸包问题和这个问题的差别就在于:凸包问题没有“城堡任意一点到围墙的距离要求大于等于L”这个要求
凸包:找到一个凸多边形把这n个点形成的多边形围起来,找到的那个周长最小的凸多边形就是我们所求的凸包
那么这个问题怎么在凸包的基础上解决呢?
我们考虑L,对于求出的凸多边形,对于它的顶点X,可以证明每个X附近需要增加一定的圆弧来保证顶点到圆弧的距离大于等于L,
所有X的圆弧角度之和为Pi,将凸包平移与圆弧连接成封闭图案,最终 ans=凸包+2*Pi*L。如下图(参考:https://my.oschina.net/u/4331110/blog/4250115)
上图中黑色实线连起来的多边形就是题目给出的n个点形成的多边形
我们就是要在这个基础上满足题目“城堡任意一点到围墙的距离要求大于等于L”要求
如上图所示,也就只需要多加4段圆弧就可以满足题目需求,答案也就是ans=凸包+2*Pi*L
凸包怎么求(参考:https://www.cnblogs.com/czaoth/p/6912073.html)?
这里我们使用Graham Scan算法来实现,此算法能够在O(nlogn)的时间内找到凸包。
这里说一下二维平面下叉积的几何意义:对于二维向量a=(x1,y2)和b=(x2,y2),a×b定义为x1*y2-y1*x2。而它的几何意义就是|a||b|sin<a,b>。如果a与b夹角小于180度(逆时针),那么这个值就是正值,大于180度就是负值。需要注意的是,左乘和右乘是不同的。这里给出几个例子
我认为这个sin<a,b>就是:a向量按照逆时针移动到b向量同方向的角度
Graham Scan算法过程:
Graham Scan算法的做法是先定下一个起点,一般是最左边的点和最右边的点(需要排序后选择起点),然后一个个点扫过去,如果新加入的点和之前已经找到的点所构成的“壳”凸性没有变化,就继续扫,否则就把已经找到的最后一个点删去,再比较凸性,直到凸性不发生变化。分别扫描上下两个“壳”,合并在一起,凸包就找到了。
我们找下“壳”,上下其实是一样的。首先加入两个点A和C:
然后插入第三个点G,并计算AC×CG的叉积,却发现叉积小于0,也就是说逆时针方向上∠ACG大于180度,于是删去C点,加入G点:
然后就是依照这个步骤便能加入D点。在AD上方是以D为起点。就能够找到AGD和DFEA两个凸壳。合并就得到了凸包。
关于扫描的顺序,有坐标序和极角序两种。坐标序是比较两个点的x坐标,如果小的先被扫描(扫描上凸壳的时候反过来);如果两个点x坐标相同,那么就比较y坐标,小的先被扫描(扫描上凸壳的时候也是反过来)。极角序使用arctan2函数的返回值进行比较
给出POJ1113:Wall代码:
1 #include<stdio.h>
2 #include<string.h>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #include<queue>
6 #include<stack>
7 #include<map>
8 #include<math.h>
9 using namespace std;
10 const int maxn=1e3+10;
11 const double PI=acos(-1.0); //180度的弧度制
12 const double eps=1e-6;
13 struct Cpoint
14 {
15 double x,y;
16 Cpoint(){}
17 Cpoint(double xx,double yy):x(xx),y(yy){}
18 Cpoint friend operator -(Cpoint a,Cpoint b)
19 {
20 return Cpoint(a.x-b.x,a.y-b.y);
21 }
22 double friend operator ^(Cpoint a,Cpoint b)
23 {
24 return a.x*b.y-b.x*a.y;
25 }
26 bool friend operator <(Cpoint a,Cpoint b)
27 {
28 if(a.y==b.y) return a.x<b.x;
29 return a.y<b.y;
30 }
31 }point[maxn];
32 double dist(Cpoint a,Cpoint b)
33 {
34 return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
35 }
36 int Sign(double x)
37 {
38 if(x>=-eps && x<=eps) return 0;
39 if(x>eps) return 1;
40 else return -1;
41 }
42 bool cmp(Cpoint a,Cpoint b)
43 {
44 int s=Sign((a-point[1])^(b-point[1]));
45 if(s>0 || (s==0 && dist(a,point[1])<dist(b,point[1]))) return 1;
46 else return 0;
47 }
48 int n,l;
49 double Graham()
50 {
51 double res=0;
52 sort(point+1,point+1+n); //得到原点(原点一般让两端的点来当)
53 sort(point+1,point+1+n,cmp); //得到积角序
54 int que[maxn],top=3;
55 que[1]=1;
56 que[2]=2;
57 que[3]=3;
58 for(int i=4;i<=n;++i)
59 { //注意下面点的顺序不要写错了
60 while(top>1 && Sign((point[que[top]]-point[que[top-1]])^(point[i]-point[que[top]]))<=0)
61 top--;
62 que[++top]=i;
63
64 }
65 for(int i=1;i<top;++i)
66 {
67 res+=dist(point[que[i]],point[que[i+1]]);
68 //printf("%.2lf**\n",res);
69 }
70 res+=dist(point[que[1]],point[que[top]]);
71 res+=2.0*PI*l;
72 return res;
73 }
74 int main()
75 {
76 while(~scanf("%d%d",&n,&l))
77 {
78 for(int i=1;i<=n;++i)
79 scanf("%lf%lf",&point[i].x,&point[i].y);
80 printf("%d\n",(int)(Graham()+0.5));
81 }
82 return 0;
83 }