CSharpGL(32)矩阵与四元数与角度旋转轴的相互转换
三维世界里的旋转(rotate)，可以用一个3x3的矩阵描述；可以用（旋转角度float+旋转轴vec3）描述。数学家欧拉证明了这两种形式可以相互转化，且多次地旋转可以归结为一次旋转。这实际上就是著名的轨迹球(arcball)方式操纵模型的理论基础。
本文中都设定float angleDegree为旋转角度，vec3 axis为旋转轴。
四元数
定义(angleDegree+axis到四元数)
四元数就是一个四维向量(w, x, y, z)，其中w描述旋转的角度（但不是直接的angleDegree值），(x, y, z)描述旋转轴。从angleDegree和axis得到一个四元数的方式比较简单。
public struct Quaternion
{
private float w;
private float x;
private float y;
private float z; /// <summary>
/// Quaternion from a rotation angle and axis.
/// </summary>
/// <param name="angleDegree">angle in degree.</param>
/// <param name="axis">rotation axis.</param>
public Quaternion(float angleDegree, vec3 axis)
{
vec3 normalized = axis.normalize();
double radian = angleDegree * Math.PI / 180.0;
double halfRadian = radian / 2.0;
this.w = (float)Math.Cos(halfRadian);
float sin = (float)Math.Sin(halfRadian);
this.x = sin * normalized.x;
this.y = sin * normalized.y;
this.z = sin * normalized.z;
}
}
先别管为什么四元数是这么定义的，只要知道这个定义就好。这里引入四元数只是为了方便提取出矩阵中蕴含的angleDegree和aixs。四元数的其他用途本文不涉及。
四元数到angleDegree+axis
从上面的定义可以很容易推算出四元数里蕴含的angleDegree和axis。显然得到的axis已经失去了原有的长度，但是axis的长度并不重要，保持在单位长度才是最方便的。
public void Parse(out float angleDegree, out vec3 axis)
{
angleDegree = (float)(Math.Acos(w) * * 180.0 / Math.PI);
axis = (new vec3(x, y, z)).normalize();
}
四元数到矩阵
从四元数到矩阵的推导有点复杂，有很多相关文章，本文就只贴代码了。代码还是很简练的。
/// <summary>
/// Transform this quaternion to equivalent matrix.
/// </summary>
/// <returns></returns>
public mat3 ToRotationMatrix()
{
vec3 col0 = new vec3(
* (x * x + w * w) - ,
* x * y + * w * z,
* x * z - * w * y);
vec3 col1 = new vec3(
* x * y - * w * z,
* (y * y + w * w) - ,
* y * z + * w * x);
vec3 col2 = new vec3(
* x * z + * w * y,
* y * z - * w * x,
* (z * z + w * w) - ); return new mat3(col0, col1, col2);
}
矩阵到四元数
矩阵到四元数的推导也有点复杂，借助了一些数学技巧，本文不详述，直接贴代码。
/// <summary>
/// Transform this matrix to a <see cref="Quaternion"/>.
/// </summary>
/// <returns></returns>
struct mat3
{
public Quaternion ToQuaternion()
{
// input matrix.
float m11 = this.col0.x, m12 = this.col1.x, m13 = this.col2.x;
float m21 = this.col0.y, m22 = this.col1.y, m23 = this.col2.y;
float m31 = this.col0.z, m32 = this.col1.z, m33 = this.col2.z;
// output quaternion
float x = , y = , z = , w = ;
// detect biggest in w, x, y, z.
float fourWSquaredMinus1 = +m11 + m22 + m33;
float fourXSquaredMinus1 = +m11 - m22 - m33;
float fourYSquaredMinus1 = -m11 + m22 - m33;
float fourZSquaredMinus1 = -m11 - m22 + m33;
int biggestIndex = ;
float biggest = fourWSquaredMinus1;
if (fourXSquaredMinus1 > biggest)
{
biggest = fourXSquaredMinus1;
biggestIndex = ;
}
if (fourYSquaredMinus1 > biggest)
{
biggest = fourYSquaredMinus1;
biggestIndex = ;
}
if (fourZSquaredMinus1 > biggest)
{
biggest = fourZSquaredMinus1;
biggestIndex = ;
}
// sqrt and division
float biggestVal = (float)(Math.Sqrt(biggest + ) * 0.5);
float mult = 0.25f / biggestVal;
// get output
switch (biggestIndex)
{
case :
w = biggestVal;
x = (m23 - m32) * mult;
y = (m31 - m13) * mult;
z = (m12 - m21) * mult;
break; case :
x = biggestVal;
w = (m23 - m32) * mult;
y = (m12 + m21) * mult;
z = (m31 + m13) * mult;
break; case :
y = biggestVal;
w = (m31 - m13) * mult;
x = (m12 + m21) * mult;
z = (m23 + m32) * mult;
break; case :
z = biggestVal;
w = (m12 - m21) * mult;
x = (m31 + m13) * mult;
y = (m23 + m32) * mult;
break; default:
break;
} return new Quaternion(w, -x, -y, -z);
}
}
matrix to quaternion
好了，现在矩阵 ⇋ 四元数 ⇋ (angleDegree+axis)之间的转换就全有了。
BTW，OpenGL里的glRotate{fd}(angle, axis)里的angle是以角度为单位的。为了统一，我将CSharpGL里的所有angle都设定为以角度为单位了。
下载
CSharpGL已在GitHub开源，欢迎对OpenGL有兴趣的同学加入（https://github.com/bitzhuwei/CSharpGL）
总结
现在解决了矩阵与（angleDegree+axis）之间的转换问题，就可以从容地解析轨迹球算出的旋转矩阵，抽取出里面蕴含的（angleDegree+axis）了。这就可以单独更新模型的旋转角度和旋转轴，避免了对整个模型矩阵的破坏。