知识预备
1. 回顾：logistic回归出发，引出了SVM，即支持向量机[续]。
2. Mercer定理：如果函数K是
上的映射（也就是从两个n维向量映射到实数域）。那么如果K是一个有效核函数（也称为Mercer核函数），那么当且仅当对于训练样例
，其相应的核函数矩阵是对称半正定的。
核函数描述和分析
考虑在”
回归和梯度下降
“一节的“线性回归”中提出的问题，特征是房子的面积x，这里的x是实数，结果y是房子的价格。假设我们从样本点的分布中看到x和y符合3次曲线，那么我们希望使用x的三次多项式来逼近这些样本点。那么首先需要将特征x扩展到三维
，然后寻找特征和结果之间的模型。我们将这种特征变换称作特征映射(feature mapping)。映射函数称作
。
在这个例子中
我们希望将得到的特征映射后的特征应用于SVM分类，而不是最初的特征。这样，我们需要将前面
公式中的内积从
，映射到
。至于为什么需要映射后的特征而不是最初的特征来参与计算，上面提到的(为了更好地拟合)是其中一个原因，另外的一个重要原因是样例可能存在线性不可分的情况，而将特征映射到高维空间后，往往就可分了。所以，将核函数形式化定义。如果原始特征内积是
，映射后为
，那么定义核函数(Kernel)为
。因些，我们可以得出结论，如果要实现该节开头的效果，只需先计算
，然后计算
即可，然而这种计算方式是非常低效的。
比如最初的特征是n维的，我们将其映射到
维，然后再计算，这样需要
的时间。那么我们能不能想办法减少计算时间呢？
先看一个例子，假设x和z都是n维的
展开后，得
这个时候发现我们可以只计算原始特征x和z内积的平方（时间复杂度是O(n)），就等价与计算映射后特征的内积。也就是说我们不需要花时间了。现在看一下映射函数（n=3时），根据上面的公式，得到
。也就是说核函数
只能在选择这样的作为映射函数时才能够等价于映射后特征的内积。
核函数1
这时，我们再看一个核函数
。
对应的映射函数（n=3时）是
，更一般地，核函数
对应的映射后特征维度为
。
由于计算的是内积，我们可以想到IR中的余弦相似度，如果x和z向量夹角越小，那么核函数值越大，反之，越小。因此，核函数值是
和
的相似度。
核函数2
同时，我们再看，另外一个核函数
。
这时，如果x和z很相近(
)，那么核函数值为1，如果x和z相差很大(
)，那么核函数值约等于0。由于这个函数类似于高斯分布，因此称为高斯核函数，也叫做径向基函数(Radial Basis Function 简称RBF)。它能够把原始特征映射到无穷维。
既然高斯核函数能够比较x和z的相似度，并映射到0到1，回想logistic回归，sigmoid函数可以，因此还有sigmoid核函数等等。
下面有张图说明在低维线性不可分时，映射到高维后就可分了，使用高斯核函数。
(Eric Xing的slides)
注意，使用核函数后，怎么分类新来的样本呢？线性的时候我们使用SVM学习出w和b，新来样本x的话，我们使用
来判断，如果值大于等于1，那么是正类，小于等于是负类。在两者之间，认为无法确定。如果使用了核函数后，就变成了
，是否先要找到
，然后再预测？答案肯定不是了，找很麻烦，回想我们之前说过的
。只需将
替换成
，然后值的判断同上,
核函数有效性判定
问题描述
给定一个函数K，我们能否使用K来替代计算
，也就说，是否能够找出一个
，使得对于所有的x和z，都有？ 比如给出了，是否能够认为K是一个有效的核函数。
问题分析
下面来解决这个问题，给定m个训练样本，每一个
对应一个特征向量。那么，我们可以将任意两个和
带入K中，计算得到
。可以从1到m，j可以从1到m，这样可以计算出m*m的核函数矩阵（Kernel Matrix）。为了方便，我们将核函数矩阵和
都使用K来表示。
有效地核函数定义
如果假设K是有效地核函数，那么根据核函数定义
可见，矩阵K应该是个对称阵。让我们得出一个更强的结论，首先使用符号
来表示映射函数
的第k维属性值。那么对于任意向量z，得
最后一步和前面计算时类似。从这个公式我们可以看出，如果K是个有效的核函数（即和等价），那么，在训练集上得到的核函数矩阵K应该是半正定的K大于等于零。这样我们得到一个核函数的必要条件：K是有效的核函数 ==> 核函数矩阵K是对称半正定的。可幸的是，这个条件也是充分的，由Mercer定理来表达。Mercer定理表明为了证明K是有效的核函数，那么我们不用去寻找，而只需要在训练集上求出各个
，然后判断矩阵K是否是半正定（使用左上角主子式大于等于零等方法）即可。在Mercer定理证明过程中使用了
范数和再生希尔伯特空间等概念，但在特征是n维的情况下，这里给出的证明是等价的。核函数不仅仅用在SVM上，但凡在一个模型后算法中出现了< x, z >，我们都可以常使用去替换，这可能能够很好地改善我们的算法。
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