title: 【概率论】4-7:条件期望(Conditional Expectation)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- Expectation
- Prediction
- Law of total Probability
toc: true
date: 2018-03-27 10:53:24
Abstract: 本文介绍期望的条件版本，也就是条件期望
Keywords: Expectation，Prediction，Law of Total Probability
开篇废话
今天突然想到一个问题，为什么有人总说别人情商低，或者是经常有人说高智商低情商就像Sheldon那种，我觉得应该不存在情商这种衡量人情感的指标，这个词不过是一些所谓的多数人提出的用来表征和区分那些做事态度和自己不一样的人。就像我们说某个人情商低，只是他做事让你不舒服而已，但是他可能没觉得这样怎么不好，甚至也有人认为他这么做很好，这种情感性质的结果不能作为衡量一个人的标准。但是智商高真的是智商高，所以我的目标做个高智商的人，情商根本就不是个好或者坏的指标，那就无所谓了，你一边嗑瓜子一边看电视然后跟别人说讨厌我，但是我会尽我最大努力推动人类文明进步。
说到条件，我们前面反复说，所有概率都是条件的，随机变量也是，那么这几天我们学到的各种数字特征就应该也有条件版本，而我们学的这几个数组特征都是建立在期望的基础上，所以我们只要研究了条件期望，其他各特征的条件版本就是在此基础上的函数版本。
本文还有一个重要的部分就是prediction——预测，机器学习的除了发现事物本身内在的原理，另一个目的就是预测，而我们要预测的这个变量可能我们并不知其分布性质，而是知道另一个跟他有关系的随机变量的分布，那么我们就要用到全概率法则的条件版本了，具体我们来详细说清楚
Definition and Basic Properties
在我们举个例子之前我们回忆一下，我们整章都在说的期望，一个随机变量的期望取决于分布，而且我们提到过，不同的随机变量有同样的分布的时候，期望是一样的，那么我们可以进一步说每个分布对应唯一的期望，但是我们知道分布是有条件版本的，所以对应的期望就是条件分布的期望，而期望这个数值在预测过程中满足最小M.S.E. 的要求，所以某些时候用条件期望来预测某个值的出现是合理的。
举个例子：
首先统计了某一个片区所有人家的家庭成员和手机持有数量，然后得到了下面这个表：
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