SVM 和线性分类器是分不开的。因为SVM的核心:高维空间中,在线性可分(如果线性不可分那么就使用核函数转换为更高维从而变的线性可分)的数据集中寻找一个最优的超平面将数据集分隔开来。
所以要理解SVM首先要明白的就是线性可分和线性分类器。
可以先解释这张图,通过这张图就可以了解线性分类器了。
这是一个在二维平面的图。其中实心点和空心点是分别属于两类的,Origin 是原点。
先看中间那条直线,中间的直线就是一条可以实心点和空心点分隔开来的直线,所以上图中的数据点是线性可分的。
这条直线其实就是线性分类器,也可以叫做分类函数,在直线上方的属于+1类,在直线下方的属于-1类。+1,-1这里只是区分类别。
所以该直线就是我们上面说的超平面,在二维空间中它是一条直线,三维空间是一个平面。。。等等,下面就统称为超平面
这个超平面上的点都满足
(1)
这里需要解释一下:
- x 在二维平面中不是指横坐标值,而是指二维平面中点的向量,在文本分类中就是文本的向量表示。所以 x = ( xi , yi )
- w 也是一个向量 它是一个垂直于超平面的向量,如图中所示
- 该表达式不只是表示二维空间,也可以表示n维空间的超平面
- b 是一个常数
- w * x 是求两个向量的点积也就是内积,实际上应该写成w * xT w乘以x的转置向量,w是横向量,x是列向量。
所以二维平面中,该表达式也可以表示为:
(2)
继续上图的解释,其中原点到超平面的距离为
这个可以很容易推导出来,以二维平面为例,上述表达式可以这么转换
根据点到直线的距离公式:
(3)
计算这个公式是为了方便我们下面计算得到几何间隔。
这里 || w || 叫做 向量 w 的 欧几里得范式,p维的向量w的范式:
实际上是对向量长度的一种度量。
以上是在线性分类器中的一些要素:包括n维空间中的一些个点,和把这些点分开的一个超平面
下面是在SVM中对线性分类器不同的地方,在SVM中我们还要找到以下两条直线H1, H2 (上图已经是线性可分的最优分类线)
H1 和 H2 它们平行于超平面,在H1 上的点满足:
(4)
在H2 上的点满足:
(5)
所以在图中我们可以看到空心点 都满足
(6)
实心点都满足
(7)
所以我们可以把上面连个式子写成一个不等式:
(8)
这个不等式就是图中所有数据点要满足的条件,也是最优分类函数求出来的条件。
这里还要提醒一下,xi 不是横坐标而是一个n维向量,yi 不是纵坐标而是一个分类标签,只有+1 和 -1。
上面计算过原点到超平面的距离,以此类推,H1 到原点的距离 = |-1-b| / || w || ; H2 到原点的距离 = | 1 - b | / || w ||
那么H1 到超平面的距离就是 | b| / || w || - |-1-b| / || w || = 1 / ||w|| 同理H2到超平面的距离也是 1/ ||w||
H1 和H2 之间的距离为:2 / ||w|| 。这个距离称作为几何间隔。
SVM 的工作是在n维空间中找到这两个超平面:H1 和H2 使得点都分布在H1 和H2 的两侧,并且使H1 和H2 之间的几何间隔最大,这是H1 和H2 就是支持向量
为什么呢?因为几何间隔与样本的误分次数间存在关系, 几何间隔越大误分次数的上界就越小。
这个1/||w|| 也可以通过上面的不等式(8)推导出来,把不等式(8)左边和右边同时除以 || w ||
就可以得到:
(9)
根据(6),(7)实际上yi 只是一个正负号,相当于取绝对值,因为wxi+b<=-1的时候yi就是-1,结果还是正数,所以(9)可以变成:
(10)
不等式左边表示的就是点到超平面wx+b=0的距离,该式子表示,所有点到超平面wx+b=0的距离都大于1/||w|| 。从图中看也正是如此。
所以我们接下来的工作就是最大化几何间隔,事实上也就是求||w||的最小值。