什么是堆
堆（英语：heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
通常将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的存储
堆一般使用数组存储。当堆中有n个元素的时，可以将这些元素存放在数组array的前n个单元里，其中堆的根节点中元素存放在array[1]中。结点之间的关系有两种情况：
- 如果根节点在数组中的位置是1，那么第i个位置的左右节点下标分别为2i、2i+1，父节点下标为i/2。
- 如果根节点在数组中的位置是0，那么第i个位置的左右节点下标分别为2i+1、2i+2，父节点下标为⌊（i-1） /2⌋。
堆的操作
以大根堆为例，给出堆支持的一些操作。
结构体定义
struct Heap
{
int size; // number of elements in array
int *array;
Heap() //init
{
size = 0;
array = new int[maxn];
}
Heap(int n) //init
{
size = 0;
array = new int[n];
}
~Heap() //free memory
{
delete array;
}
};
判断是否为空
bool empty()
{
if(size != 0) return false;
return true;
}
往堆中插入元素
void insert(int value)
{
array[++size] = value; // 数组的最末尾插入新节点
int index = size;
while(index > 1) // 自下而上地调整子节点与父节点的位置
{
// 如果大于父节点的值，根据最大堆的特点，子节点上升，而父节点要下降
if(array[index] > array[index/2]) swap(array[index],array[index/2]);
index /= 2; // 继续向上搜索
}
}
从堆中删除元素
void del()
{
if(empty()) return; // 删除前不能为空
swap(array[1],array[size--]); //用数组最末尾节点覆盖被删节点
int index = 1;
while(2*index <= size) // 从上到下调整二叉堆
{
int next = 2*index;
// 选取子节点中最大的
if(next < size && array[next+1] > array[next]) next++;
// 与子节点中最大的比较，如果小于则当前结点下降
if(array[index] < array[next])
{
swap(array[index],array[next]);
index = next;
}
else break;
}
}
取出堆中最大的元素
int max() {
if(empty()) return -1;
return array[1];
}
堆排序
给定一个有size个元素的数组array,可用下面的算法buildHeap(array,size)在 O(n) 时间内将数组array调整为一个堆。
void buildHeap(int array[],int size)
{
int i,tmp,index;
for(i = size/2; i >= 1; i--)
{
tmp = array[i];
index = 2*i;
while(index <= size)
{
if(index < size && array[index+1] > array[index]) index++;
if(array[index] < tmp) break;
array[index/2] = array[index];
index *= 2;
}
array[index/2] = tmp;
}
}
测试代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 1001 //heap's size
using namespace std;
struct Heap {
int size; // number of elements in array
int *array;
Heap() { //init
size = 0;
array = new int[maxn];
}
Heap(int n) { //init
size = 0;
array = new int[n];
}
~Heap() { //free memory
delete array;
}
bool empty() {
if(size != 0) return false;
return true;
}
void insert(int value) {
array[++size] = value;
int index = size;
while(index > 1) {
if(array[index] > array[index/2]) swap(array[index],array[index/2]);
index /= 2;
}
}
void del()
{
if(empty()) return;
swap(array[1],array[size--]);
int index = 1;
while(2*index <= size)
{
int next = 2*index;
if(next < size && array[next+1] > array[next]) next++;
if(array[index] < array[next])
{
swap(array[index],array[next]);
index = next;
} else break;
}
}
int max() {
if(empty()) return -1;
return array[1];
}
};
void buildHeap(int array[],int size) {
int i,tmp,index;
for(i = size/2; i >= 1; i--) {
tmp = array[i];
index = 2*i;
while(index <= size) {
if(index < size && array[index+1] > array[index]) index++;
if(array[index] < tmp) break;
array[index/2] = array[index];
index *= 2;
}
array[index/2] = tmp;
}
}
int main() {
int n,i,j,k;
cout << "input heap's size:";
cin >> n;
Heap H = Heap(n);
int* array = new int[n];
for(i = 1; i <= n; i++) {
int tmp;
cin >> tmp;
array[i] = tmp;
H.insert(tmp);
}
buildHeap(array,n);
for(i = 1; i <= n; i++) {
cout << array[i] << " ";
}
cout << endl;
while(!H.empty()) {
cout << H.max() << endl;
H.del();
}
return 0;
};
结果：
例题
输入n个整数，找出其中最小的K个数。例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4。
class Solution {
public:
struct Heap {
int size; // number of elements in array
int *array;
Heap() { //init
size = 0;
array = new int[1001];
}
Heap(int n) { //init
size = 0;
array = new int[n];
}
~Heap() { //free memory
delete array;
}
bool empty() {
if(size != 0) return false;
return true;
}
void insert(int value) {
array[++size] = value;
int index = size;
while(index > 1) {
if(array[index] < array[index/2]) swap(array[index],array[index/2]);
index /= 2;
}
}
void del()
{
if(empty()) return;
swap(array[1],array[size--]);
int index = 1;
while(2*index <= size)
{
int next = 2*index;
if(next < size && array[next+1] < array[next]) next++;
if(array[index] > array[next])
{
swap(array[index],array[next]);
index = next;
} else break;
}
}
int min() {
if(empty()) return -1;
return array[1];
}
};
vector<int> GetLeastNumbers_Solution(vector<int> input, int k) {
vector<int> ret;
int i,n = input.size();
if(n < k) return ret;
Heap H = Heap(n);
for(i = 0;i < n;i++)
{
H.insert(input[i]);
}
while(k)
{
ret.push_back(H.min());
H.del();
k--;
}
return ret;
}
};
参考资料
- 数据结构图文解析之：二叉堆详解及C++模板实现
- 《数据结构（C语言描述）（修订版）》电子工业出版社