hdu2159FATE(二维背包）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2159

Problem Description
最近xhd正在玩一款叫做FATE的游戏，为了得到*装备，xhd在不停的杀怪做任务。久而久之xhd开始对杀怪产生的厌恶感，但又不得不通过杀怪来升完这最后一级。现在的问题是，xhd升掉最后一级还需n的经验值，xhd还留有m的忍耐度，每杀一个怪xhd会得到相应的经验，并减掉相应的忍耐度。当忍耐度降到0或者0以下时，xhd就不会玩这游戏。xhd还说了他最多只杀s只怪。请问他能升掉这最后一级吗？

Input
输入数据有多组，对于每组数据第一行输入n，m，k，s( < n,m,k,s < )四个正整数。分别表示还需的经验值，保留的忍耐度，怪的种数和最多的杀怪数。接下来输入k行数据。每行数据输入两个正整数a，b( < a,b < )；分别表示杀掉一只这种怪xhd会得到的经验值和会减掉的忍耐度。(每种怪都有无数个)

Output
输出升完这级还能保留的最大忍耐度，如果无法升完这级输出-。

Sample Input

Sample Output

 - 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,k,s;
    int dp[][];
    int a[][];
    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s))
    {
       memset(dp,,sizeof(dp));
       for(int i=;i<=k;i++)
       {
           scanf("%d%d",&a[i][],&a[i][]);
       }
       for(int i=;i<=k;i++)
       {
           for(int j=;j<=s;j++)
           {
               for(int z=a[i][];z<=m;z++)
               {

                   if(dp[j-][z-a[i][]]+a[i][]>dp[j][z])
                   {
                       dp[j][z]=dp[j-][z-a[i][]]+a[i][];
                   }

               }
           }
       }
       int flag=;
       for(int i=;i<=m;i++)
       {
           for(int j=;j<=s;j++)
           {
               if(dp[j][i]>=n)
               {
                   printf("%d\n",m-i);
                   flag=;
                   break;
               }
           }
           if(flag==)
            break;
       }
       if(flag==)
       printf("-1\n");
    }
    return ;
}

各种背包五（二维费用背包问题）

问题

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不 同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别 为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

算法

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}

如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了，相信有了前面的基础，你能够自己实现出这个问题的程序。

物品总个数的限制

有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给 出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设 f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V] [0..M]范围内寻找答案。

复数域上的背包问题

另一种看待二维背包问题的思路是：将它看待成复数域 上的背包问题。也就是说，背包的容量以及每件物品的费用都是一个复数。而常见的一维背包问题则是实数域上的背包问题。（注意：上面的话其实不严谨，因为事 实上我们处理的都只是整数而已。）所以说，一维背包的种种思想方法，往往可以应用于二位背包问题的求解中，因为只是数域扩大了而已。

作为这种思想的练习，你可以尝试将P11中提到的“子集和问题”扩展到复数域（即二维），并试图用同样的复杂度解决。

小结

当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。

分析：相比经典的01背包问题，二维费用背包问题增加了一维费用，于是我
们需要在状态上增加一维。设s[i][j][k]表示将前i件物品放入两种容量分别为j和k的背包时所能获得的最大价值，则状态转移方程为s[i][j]
[k]=max{s[i-1][j][k],
s[i-1][j-v[i]][k-u[i]]+w[i]}，递推边界为当i=0时s[i][j][k]=0。和01背包类似，状态的维数可以轻易的从三
维降低到二维，具体实现见代码。

代码：

for (int i=0; i<=V; i++)
{
      for (int j=0; j<=U; j++) s[i][j]=0;  // 边界
}
for (int i=1; i<=N; i++)
{
      for (int j=V; j>=v[i]; j--)
      {
            for (int k=U; k>=u[i]; k--) s[j][k]=max(s[j][k], s[j-v[i]][k-u[i]]+w[i]);
      }
}

总结：二维费用背包的完全背包问题以及多重背包问题均与01背包类似，在此就不再赘述了。由二维费用背包问题我们可以推知多维费用背包其实就是增加状态维数，其他类型的DP问题如果是通过原型问题增加限制条件改编而来，应该也可以通过类似的增加状态维数来解决。