Numpy实现矩阵运算及线性代数应用

一、创建矩阵的方法

1. import numpy as np
2. # 1直接创建
3. mat=np.mat("1 2 3;4 5 6;7 8 9")
4. print(mat)
5. # 2使用numpy数组创建矩阵
6. mat2=np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))
7. print(mat2)
8. # 3从已有的矩阵中通过bmat函数创建
9. A=np.eye(2)
10. B=A*2
11. mat3=np.bmat("A B;B A")
12. print(mat3) #类似于拼接

二、矩阵运算

2.1随机函数表

随机函数1

随机函数2*

2.2部分实例

1. mat1=np.mat(np.array([2,6,5]))
2. mat2=np.mat(np.array([2,6,5]))

2.2.1加法—np.add

1. addresult=np.add(mat1,mat2)
2. print(addresult)

2.2.2乘法—multiply

1. multiresult=np.multiply(mat1,mat2)
2. print(multiresult) #数值的乘法
3. mat3=np.mat(np.arange(6).reshape(2,3))
4. mat4=np.mat(np.arange(6).reshape(3,2))
5. print("mat3*mat4\n",mat3*mat4)

2.2.3除法—divide

1. a=np.mat(np.array([4,5,8]))
2. b=np.mat(np.array([2,3,5]))
3. #########################除法
4. result1=np.divide(a,b)
5. print(result1)
6.  
7. #数组除法将结果向下去整
8. result2=np.floor_divide(a,b)
9. print("除法向下去整：",result2)
10. #矩阵直接相除
11. print("矩阵直接相除",a/b)
12. #矩阵取模
13. print("矩阵取模",a%b)
14.  
15. #返回小数部分
16. floatResult=np.true_divide(a,b)
17. print(floatResult)

mat**2，要求mat为方阵，其平方为mat*mat的结果
mat1*mat2的结果为mat1(m,n)的行与mat2(n,p)的列乘积组成的新的矩阵(m,p)

2.2.4取模-mod/fmod

1. import numpy as np
2. mat1=np.mat(np.array([5,-7,9]))
3. mat2=np.mat(np.array([2,-4,3]))
4. #取模运算
5. result1=np.remainder(mat1,mat2)
6. print("remainder:",result1)
7.  
8. result2=np.mod(mat1,mat2)
9. print("mod",result2)
10.  
11. result3=mat1%mat2
12. print("%",result3)
13.  
14. result4=np.fmod(mat1,mat2)
15. print(result4) #模 的正负和被除数相同，与除数无关

三、通用函数

1一元函数（ufunc），只接受一个数组，结果返回一个结果数组，
当然也有返回两个数组的（modf），但是情况很少。
2二元函数（binary）,接受的是两个结果，返回的是一个结果数组

3.1 一元通用函数

3.1.1 图表总说明

红线圈出为常用函数

1. import numpy as np
2. mat=np.mat(np.array([-10,5,-4,3,0,12]))
3. print(np.abs(mat)) #绝对值
4. print(np.fabs(mat)) #非复数情况下

3.1.2获取矩阵中各元素的正负—sign

1. #获取矩阵中各元素的正负号
2. sign=np.sign(mat)
3. print("sign:",sign)
4. #sign: [[-1 1 -1 1 0 1]]

3.1.3整数小数的抽取分离—modf

1. #将数组中元素的小数和整数部分抽取出来
2. arr=np.array([[1.2,3.34],
3. [-2.5,6.8]])
4. arr1,arr2=np.modf(arr)
5. print("整数部分：",arr2)
6. print("小数部分：",arr1)

3.2二元通用函数

3.2.1图表总说明

红线圈出为常用函数

3.2.2对应的矩阵的幂函数运算—power

1. mat2=np.mat(np.array([1,2,3,4]))
2. mat3=np.mat(np.array([2,3,2,3]))
3. result1=np.power(mat2,mat3) #mat2中元素作为底，mat3作为幂
4. print(result1)

3.2.3获取两个数组中对应元素的最大/小值，存放到新的数组中power()

1. import numpy as np
2. mat3=np.mat(np.array([[1,2.2],[2,1.2]]))
3. mat4=np.mat(np.array([[5,2.6],[2,3.2]]))
4. result=np.power(mat1,mat2)
5. print(result) >> [[ 1. 20.57737365] [ 6.76 1.79217324]]
6.  
7. maximun=np.maximum(mat3,mat4)
8. print(maximun) >> [[5. 2.6] [2. 3.2]]

3.2.4数组比较—greater

1. result2=np.greater(mat3,mat4)
2. print(result2) >> [[False True] [ True False]]
3. # 亦或 xor：相同的为False，不同的为True

3.2.5创建同结构的数组—np.zeros_like()

1. import numpy as np
2. a=np.arange(4).reshape(2,2)
3. print(a)
4. #创建一个和a类型一样，但数据全是0的数组
5. like_a=np.zeros_like(a)
6. like_a=3 #赋值
7. print(like_a)
8. #################################################################################
9. #创建一个通用函数numpy
10. def like(ndarry):
11. result=np.zeros_like(ndarry)
12. result.flat=5
13. return result
14. #调用numpy创建通用函数的方法,1个输入，一个输出
15. myfunc=np.frompyfunc(like,1,1)
16. test=myfunc(np.arange(9).reshape(3,3))
17. print(test)
18. #结果如下：
19. #[[array(5) array(5) array(5)]
20. # [array(5) array(5) array(5)]
21. # [array(5) array(5) array(5)]]

四、矩阵运算-add运算

4.1矩阵元素求和—reduce

1. print("reduce:",np.add.reduce(a))
2. print("sum:",np.sum(a))

4.2矩阵元素求和列出—accumulate

1. print("accumulate",np.add.accumulate(a))

4.3reduceat函数

1. print("reduceat",np.add.reduceat(a,[1,3,2,4])) # >> reduceat [3 3 5 4]
2. #第一步用到索引值列表中的1和3，对数组中索引值在1到3之间的元素进行reduce操作 得到3;
3. #第二步用到索引值3和2。由于2比3小，所以直接返回索引值为3的元素 得到3;
4. #第三步用到索引值2和4。对索引值在2到4之间的数组元素进行reduce操作 得到4;
5. #第四步用到索引值4。对索引值从7开始直到数组末端的元素进行reduce操作 得到5;

4.4各个矩阵元素相加—outer

1. arr1=np.array([1,6])
2. arr2=np.array([2,3,5,65])
3. result2=np.add.outer(arr1,arr2) #相加
4. result3=np.outer(arr1,arr2) #相乘
5. print("outer:",result2)
6. # outer 将第一个数组中的每个元素分别和第二个数组的所有元素相加

五、线性代数的应用

5.1 逆矩阵—np.linalg.inv()

1. import numpy as np
2. A=np.mat(np.array([[0,1,2],[1,0,3],[4,-3,8]]))
3. #求A 的逆矩阵
4. A_=np.linalg.inv(A)
5. print("A的逆矩阵：\n",A_)
6.  
7. #验证A*A_是否是单位矩阵
8. print("A*A_:\n",A*A_)

5.2计算矩阵—np.linalg.solve(arr1,arr2)

1. import numpy as np
2.  
3. '''
4. X-2Y+Z=0
5. 2Y-8Z=8
6. -4X+5Y+9Z=-9
7. '''
8. #求解三元一次函数
9. A=np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
10. print("系数：",A)
11. B=np.array([0,8,-9])
12. print("常数:",B)
13.  
14. #调用numpy的solve方法
15. result=np.linalg.solve(A,B)
16. print("X={},Y={},Z={}".format(result[0],result[1],result[2]))

5.3 特征值和特征向量

1. import numpy as np
2. vector=np.mat("3 -2;1 0")
3. #求特征值
4. eigenvalues=np.linalg.eigvals(vector)
5. # 特征值是Ax=ax的根
6. eigenvalues,eigvector=np.linalg.eig(vector)
7. print("特征值：",eigenvalues)
8. print("特征向量：\n",eigvector)
9. >>结果：
10. 特征值： [2. 1.]
11. 特征向量：
12. [[0.89442719 0.70710678]
13. [0.4472136 0.70710678]]

5.4奇异值分解—np.linalg.svd()

1. import numpy as np
2. vector=np.mat("4 11 14;8 7 -2")
3. #调用numpy汇总的svd方法对矩阵进行奇异值分解
4. U,sigma,V=np.linalg.svd(vector,full_matrices=False)
5. print("U\n",U)
6. print("sigma:\n",sigma)
7. print("V:\n",V)
8.  
9. #将svd分解出的值相乘
10. print("vector:\n",U*np.diag(sigma)*V)

5.5矩阵行列式—np.linalg.det()

对于一个n×n的实数矩阵，行列式描述的是一个线性变换对“有向体积”所造成的影响。行列式的值为正表示保持了空间的定向（顺时针或逆时针），为负则表示颠倒了空间的定向。numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式。

1. import numpy as np
2. vector=np.mat("3 4;5 6")
3. print(vector)
4. #求行列式
5. value=np.linalg.det(vector)
6. print("行列式：",value)

六、专用函数

6.1排序

6.1.1对数组元素进行排序

1. import numpy as np
2. arr=np.array([1,2,34,5])
3. result=np.sort(arr)
4. arr.sort()
5. print(arr)

6.1.2返回排序后数组元素的索引—argsort()

1. argsort=np.argsort(arr)
2. print("argsort:",argsort)
3. d2=np.array([[12,3,45,2],
4. [43,552,1,9]])
5. #将多维数组按列排序
6. d2.sort(axis=0)
7. print(d2)
8. #[[ 12 3 1 2]
9. # [ 43 552 45 9]]
10. #将多维数组按行排序
11. d2.sort(axis=1)
12. print(d2)

6.1.3竖向索引排序

1. print(np.argsort(d2,axis=0))
2. [[0 0 0 0]
3. [1 1 1 1]]

6.1.4横向索引排序

1. print(np.argsort(d2,axis=1))
2. [[2 3 1 0]
3. [3 0 2 1]]

6.2搜索函数

6.2.1基本函数

6.2.2获取最大值的下标—np.argmax()

1. import numpy as np
2. a=np.array([[2,3,653,4],
3. [5,62,943,44,]])
4. b=np.array([32,13,65,43])
5. #如果是多维数组，则将多维数组展平后获取最大值的下标
6. argmax=np.argmax(a)
7. print(argmax)

6.2.3非零元素获取下标—np.argwhere()

1. #根据条件数组中搜索非零的元素，分析返回对应的下标
2. print("argwhere\n",np.argwhere(b>40))
3. print("argwhere 多维\n",np.argwhere(a>100))
4. '''
5. argwhere 多维
6. [[0 2]
7. [1 2]]
8. '''

6.2.4寻找合适的下标—np.searchsorted()

1. sorted=np.arange(5)
2. indices=np.searchsorted(sorted,[-2,7])
3. print(indices) #下标

6.2.5添加符合的下标的元素，返回新的数组—np.searchsorted()

1. newsorted=np.insert(sorted,indices,[-2,7])
2. print("添加新元素后：\n",newsorted)

6.3抽取函数—extract(condition,ndarray)

一维

1. import numpy as np
2. a=np.arange(10)
3. #生成一个抽取元素的花式索引
4. condition=a%2==0#赋值/算术/逻辑运算符优先级
5. print("花式索引",condition)
6. even=np.extract(condition,a)
7. print("偶数项：",even)
8. #take()/compress()
9. even2=a.compress(condition)

多维强调内容

1. import numpy as np
2. #抽取数组中非零的元素np.nonzero() 的索引
3. arr=np.array([[0,1,2],[0,3,4],[0,5,6]])
4. rows,cols=np.nonzero(arr)
5. print("rows",rows)
6. print("cols:",cols)
7.  
8. indices=np.dstack((rows,cols))
9. print("indices:\n",indices)

6.4金融函数

6.4.1 计算存款/贷款（终值）—fv函数

np.fv(rate,nper,pmt,pv,)
rate:存款/贷款每一期的利率
nper：总期数
pmt：存款/贷款支付的金额
pv：存款/贷款金额
rate=0.03/4
nper=5*4
pmt=-10
pv=-1000

1. import numpy as np
2. #某用户去银行存款，假设年利率是3%,，每季度存10元，
3. # 存5年以及存款1000，五年后可得到的本息和是多少？
4.  
5. #g该用户5年后得到的本息为
6. fv=np.fv(0.03/4,5*4,-10,-1000)
7. print("5年后本息和：",fv)
8. #计算每一年的本息和
9. for i in range(1,6):
10. fv1=np.fv(0.03/4,i*4,-10,-1000)
11. print("第",i,"年本息和为：{}".format(fv1))

6.4.2计算首月的金额(起始值)—pv函数

np.pv(rate, nper, pmt, pv, )
如果是贷款则是终值0
如果是贷款是本息和

1. import numpy as np
2. #存五年可得1376.0963320407982，计算5年前存款的金额
3. pv=np.pv(0.03/4,5*4,-10,1376.0963320407982)
4. print("5年钱第一次存款的金额是：",np.round(-pv))

6.4.3计算净现值—npv函数

np.npv(rate,value)
rate:折现率
values:现金流
NPV>0，则除了得到预定的收益率外，可能得到更高的收益；
NPV<0，则未达到利益水平，但是不能确定自己是否亏损；
NPV=0， 正好达到预期的收益效果 ，不是盈亏平衡

1. #投资100，支出39，59，55，20，折现率28.1%，净现值多大？
2. npv=np.npv(0.281,[-100,39,59,55,20])
3. print("净现值：",npv)

6.4.4计算每期还款金额—pmt函数

np.pmt(rate,nper,pv)
rate: 存款 / 贷款每一期的利率
nper：总期数
pv:需要还款的金额

1. #某人贷款20万，15年还清，年利率是7.5%，求每月还的金额？
2. pmt=np.pmt(0.075/12,15*12,200000)
3. print("每月还款的金额：{}".format(pmt))

6.4.5计算还款期数—nper函数

np.nper(rate,pmt,pv,fv)
rate:存款/贷款每一期的利率
pmt：存款/贷款支付的金额
pv：存款/贷款金额
fv:总金额

1. #某人贷款20万，每月还2000，年利率是7.5%，求多少年还完？
2. nper=np.nper(0.075/12,-2000,200000)
3. months=np.ceil(nper)
4. years=np.ceil(months/12)#向上取整
5. print("需要还款{}年".format(years)) >>14年

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