协方差与协方差矩阵

协方差是统计学上表示两个随机变量之间的相关性，随机变量ξ的离差与随机变量η的离差的乘积的数学期望叫做随机变量ξ与η的协方差（也叫相关矩），记作cov(ξ, η)：

cov(ξ, η) = E[(ξ-Eξ)(η-Eη)] = E(ξη)-EξEη

对于离散随机变量，我们有:

对于连续随机变量，我们有:

随机变量的协方差用来描述随机变量之间的相关性，如果ξ与η独立，则cov(ξ, η)=0. 如果ξ与η相同，则cov(ξ, η)就是变量ξ的方差.

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协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个矢量元素之间的协方差。这是从标量随机变量到高维度随机矢量的自然推广.

假设是以个标量随机变量组成的列矢量，

并且是其第i个元素的期望值，即, 。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下：

即：

矩阵中的第个元素是与的协方差。这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。

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进一步的分析协方差矩阵

∂_i 表示各样本的X_i变量不同样本值组成的向量(i=1,2,...n);

β_j 表示某一个样本 j 的各变量值组成的向量(j=1,2,...,m);

用 μ_i 表示X_i的期望，即 μ_i =E(X_i).

协方差矩阵为 

 

 如果所有μ_i =E(X_i)=0.则上面表达式就变为：

（实际计算中，分母是m-1，而不用m）