C++矩阵加速经典题目：Warcraft III 守望者的烦恼 [vijos 1067]

Warcraft III 守望者的烦恼

背景

守望者-warden，长期在暗夜精灵的的首都艾萨琳内担任视察*的任务，*是成长条行的，守望者warden拥有一个技能名叫“闪烁”，这个技能可以把她传送到后面的*内查看，她比较懒，一般不查看完所有的*，只是从入口进入，然后再从出口出来就算完成任务了。

描述

头脑并不发达的warden最近在思考一个问题，她的闪烁技能是可以升级的，k级的闪烁技能最多可以向前移动k个*，一共有n个*要视察，她从入口进去，一路上有n个*，而且不会往回走，当然她并不用每个*都视察，但是她最后一定要到第n个*里去，因为*的出口在那里，但是她并不一定要到第1个*。

守望者warden现在想知道，她在拥有k级闪烁技能时视察n个*一共有多少种方案？

格式

输入格式

第一行是闪烁技能的等级k(1<=k<=10)

第二行是*的个数n(1<=n<=2^31-1)

输出格式

由于方案个数会很多，所以输出它 mod 7777777后的结果就行了

样例1

样例输入1

2

4

样例输出1

5

限制

各个测试点1s

提示

把*编号1 2 3 4,闪烁技能为2级，

一共有5种方案

→1→2→3→4

→2→3→4

→2→4

→1→3→4

→1→2→4

小提示：建议用int64，否则可能会溢出

这道题我们可以先考虑k=2的情况，发现其实此题的主要内容就是爬楼梯（k为最多爬多少步，n为有n阶楼梯）。所以在k=2时整个解排出来便是一个裴波那契数列，递推式为\(f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\)。那么扩展到闪烁步数最大为k的情况，不难发现递推式便为\(f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}+...+f_{n-k}\)。

这里有一个初始化的问题让我思考了一段时间，这里阐述一下。如果k是小于n的，那么总的方案数会是多少。不难发现在\(k>n\)时,你最多一次只能爬n步，而不能爬k步，所以在\(k>n\)时，其实方案数就是\(f_{n}\),也就是\(f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}+...+f_{0}\)。

现在来考虑矩阵加速，方法类似于裴波那契数列的构造方法，具体请看此篇博客：https://blog.csdn.net/weixin_44049566/article/details/88946702

这里因为矩阵的阶数随k而定，所以可以使用循环来构造,类似于如下代码：

void pre1(int k) {
        n=m=k;
        for(int i=1;i<=k-1;i++) c[i+1][i]=1;
        for(int i=1;i<=k;i++) c[i][k]=1;
    }

加速矩阵构造出来类似于这样：

\(\begin{bmatrix}
& 0 & 0 & ... &0 \\
& 1 & 0& ... & 0\\
& 0 & 1& ... & 0\\
& ... & ... &... & ...\\
& 0 & 0& ... &1
\end{bmatrix}\)*\(\begin{bmatrix}
& f_{1}&f_{2}&...&f_{k}\end{bmatrix}\)

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

#define N 20
#define LL long long
#define MOD 7777777

LL k,n;

struct Matrix {
    LL n,m,c[N][N];
    Matrix() { memset(c,0,sizeof(c)); };
    void _read() {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                scanf("%lld",&c[i][j]);
    }
    Matrix operator * (const Matrix& a) {
        Matrix r;
        r.n=n;r.m=a.m;
        for(int i=1;i<=r.n;i++)
            for(int j=1;j<=r.m;j++)
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    r.c[i][j]= (r.c[i][j]+ (c[i][k] * a.c[k][j])%MOD)%MOD;
        return r;
    }
    void _print() {
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=1;j<=m;j++) {
                if(j!=1) cout<<" ";
                cout<<c[i][j];
            }
            if(i!=n) puts("");
        }
    }
    void pre1(int k) {
        n=m=k;
        for(int i=1;i<=k-1;i++) c[i+1][i]=1;
        for(int i=1;i<=k;i++) c[i][k]=1;
    }
    void pre2(int k) {
        n=1,m=k;
        c[1][0]=c[1][1]=1;
        for(int i=2;i<=k;i++)
            for(int j=i-1;j>=0;j--)
                c[1][i]+=c[1][j];
    }
    Matrix _power(int indexx) {
        Matrix tmp,sum;tmp.pre1(k);
        for(int i=1;i<=k;i++) sum.c[i][i]=1;sum.m=sum.n=k;
        while(indexx>0) {
            if(indexx&1) sum=sum*tmp;
            tmp=tmp*tmp;
            indexx/=2;
        }
        return sum;
    }

}A,B;

int main() {
    cin>>k>>n;
    A.pre2(k);
    B.pre1(k);
    B=B._power(n-k);
    A=A*B;
    cout<<A.c[1][k];
}