http://poj.org/problem?id=3233
题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + … + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod m。k<=10^9。
这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：
A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。
代码如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <math.h>
#include <queue>
using namespace std; struct matrix
{
int a[][];
} init,res;
int n,k,mod;
matrix Mult(matrix x,matrix y)
{
matrix tmp;
for(int i=; i<n; i++)
{
for(int j=; j<n; j++)
{
tmp.a[i][j]=;
for(int k=; k<n; k++)
tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
}
}
return tmp;
}
matrix Pow(matrix x,int k)
{
matrix tmp;
for(int i=; i<n; i++)
{
for(int j=; j<n; j++)
tmp.a[i][j]=(i==j);
}
while(k)
{
if(k&)
tmp=Mult(tmp,x);
k>>=;
x=Mult(x,x);
}
return tmp;
}
matrix Add(matrix x,matrix y)
{
matrix tmp;
for(int i=; i<n; i++)
{
for(int j=; j<n; j++)
{
tmp.a[i][j]=(x.a[i][j]+y.a[i][j])%mod;
}
}
return tmp;
}
matrix Sum(matrix x,int k)
{
if(k==)
return x;
matrix tmp=Sum(x,k/),y;
if(k&)
{
y=Pow(x,k/+);
tmp=Add(Mult(y,tmp),tmp);
return Add(tmp,y);
}
else
{
y=Pow(x,k/);
return Add(Mult(y,tmp),tmp);
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)!=EOF)
{
for(int i=; i<n; i++)
{
for(int j=; j<n; j++)
{
scanf("%d",&init.a[i][j]);
init.a[i][j]%=mod;
}
}
res=Sum(init,k);
for(int i=; i<n; i++)
{
for(int j=; j<n; j++)
{
if(j==) printf("%d",res.a[i][j]);
else printf(" %d",res.a[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
return ;
}
其他大神的想法：
题目分析：矩阵快速幂。首先我们知道 A^x 可以用矩阵快速幂求出来。其次可以对k进行二分，每次将规模减半，分k为奇偶两种情况，如当k = 6和k = 7时有：
k = 6 有： S(6) = (1 + A^3) * (A + A^2 + A^3) = (1 + A^3) * S(3)。
k = 7 有： S(7) = A + (A + A^4) * (A + A^2 + A^3) = A + (A + A^4) * S(3)。
ps：对矩阵定义成结构体Matrix，求S时用递归，程序会比较直观，好写一点。当然定义成数组，然后再进行一些预处理，效率会更高些。